Quantum Fisher information

Quantum Fisher information är en central storhet inom kvantmetrologi och är kvantanalogen till den klassiska Fisher informationen . Kvant Fisher-informationen $F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]$ för ett tillstånd $\varrho$ med avseende på den observerbara $A$ är definierad som

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{ 2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},$

där $\lambda _{k}$ och $\vert k\rangle$ är egenvärdena och egenvektorerna för densitetsmatrisen $\varrho ,$ respektive, och summeringen går över alla $k$ och $l$ så att $\lambda _{k}+\lambda _{l}>0$ .

När det observerbara genererar en enhetlig transformation av systemet med en parameter $\theta$ från initialtillståndet $\varrho _{0}$ ,

$\varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp( +iA\theta ),$

Quantum Fisher-informationen begränsar den uppnåbara precisionen i statistisk uppskattning av parametern $\theta$ via kvantmet Cramér–Rao bunden som

$(\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho , A]}},$

där $m$ är antalet oberoende repetitioner.

Det är ofta önskvärt att uppskatta storleken på en okänd parameter $\alpha$ som styr styrkan av ett systems Hamiltonian $H=\alpha A$ med avseende på en känd observerbar $A$ under en känd dynamisk tid $t$ . I det här fallet innebär att definiera $\theta =\alpha t$ , så att $\theta A=tH$ , uppskattningar av $\theta$ kan vara direkt översatt till uppskattningar av $\alpha$ .

Anslutning till Fisher information

Klassisk Fisher-information för att mäta observerbar $B$ på densitetsmatrisen $displaystyle \varrho (\theta )}$$F[B,\theta ]=\summa _{b}{\frac {1}{p(b|\theta )}}\left({\frac { \partial p(b|\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}$ definieras som , där ${\displaystyle p(b|\theta )=\langle b\vert \varrho (\theta )\vert b\rangle } är$ sannolikheten för att få utfallet $b$ när man mäter observerbar $B$ på den transformerade densitetsmatrisen $\varrho (\theta )$ . $b$ är egenvärdet som motsvarar egenvektor $\vert b\rangle$ av observerbar $B$ .

Quantum Fisher-information är det högsta av den klassiska Fisher-informationen över alla sådana observerbara,

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=\sup _{B}F[B,\theta ].$

Relation till den symmetriska logaritmiska derivatan

Quantum Fisher-informationen är lika med förväntansvärdet för ${\displaystyle L_{\varrho }^{2}} ,$ där $L_{\varrho }$ är den symmetriska logaritmiska derivatan .

Motsvarande uttryck

För en enhetlig kodningsoperation $\varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{ 0}\exp(+iA\theta ),$ , quantum Fisher-informationen kan beräknas som en integral,

$F_{\rm { Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{ 0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,$

där $[\ ,\ ]$ på höger sida anger kommutator. Det kan också uttryckas i termer av Kronecker-produkt och vektorisering ,

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dolk }{\ stor (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\ text{vec}}([\varrho _{0},A]),$

där $^{*}$ betecknar komplext konjugat , och $^{\dolk }$ betecknar konjugat transponera . Denna formel gäller för inverterbara densitetsmatriser. För icke-inverterbara densitetsmatriser ersätts inversen ovan med Moore-Penrose-pseudoinversen . Alternativt kan man beräkna kvant Fisher-informationen för inverterbart tillstånd $\rho _{\nu }=(1-\nu )\rho _{0}+\nu \pi$ , där $\pi$ är valfri densitetsmatris med full rang, och utför sedan gränsen $\nu \rightarrow 0^{+}$ för att erhålla quantum Fisher-informationen för ${ \displaystyle \rho _{0}}$ . Densitetsmatris $\pi$ kan till exempel vara ${\rm {Identity}}/\dim {\mathcal {H}}$ i en ändligt dimensionellt system, eller ett termiskt tillstånd i oändligt dimensionella system.

Generalisering och relationer till Bures metrisk och kvanttrohet

För varje differentierbar parametrisering av densitetsmatrisen $\varrho ({\boldsymbol {\theta }})$ med en vektor av parametrar ${\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})$ , Quantum Fisher-informationsmatrisen definieras som

$F_{\ rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\summa _{k,l}{\frac {\operatörsnamn {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},$

där $\partial _{i}$ anger partiell derivata med avseende på parametern $\theta _{i}$ . Formeln håller också utan att ta den reella delen $\operatorname {Re}$ , eftersom den imaginära delen leder till ett antisymmetriskt bidrag som försvinner under summan. Observera att alla egenvärden $\lambda _{k}$ och egenvektorer $\vert k\rangle$ för densitetsmatrisen beror potentiellt på vektorn av parametrar ${\boldsymbol {\theta }}$ .

Denna definition är identisk med fyra gånger Bures-metriken , upp till singulära punkter där densitetsmatrisens rangordning ändras (de är de punkter där $\lambda _{k}+\lambda _{l }$ blir plötsligt noll.) Genom denna relation ansluter den också till kvanttrohet ${\displaystyle F(\varrho ,\sigma )=\left(\ mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}} av två oändligt nära tillstånd$ ,

$F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }} })=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\summa _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\ lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{4}),$

där den inre summan går över alla $k$ vid vilka egenvärden $\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0$ . Den extra termen (som dock är noll i de flesta applikationer) kan undvikas genom att ta en symmetrisk expansion av trohet,

$F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\ fetstil {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{4}).$

För $n=1$ och enhetlig kodning reduceras Fisher-informationsmatrisen till den ursprungliga definitionen.

Quantum Fisher informationsmatris är en del av en bredare familj av kvantstatistiska avstånd.

Förhållande till trohetskänslighet

Förutsatt att $\vert \psi _{0}(\theta )\rangle$ är ett grundtillstånd för en parameterberoende icke-degenererad Hamiltonian $H(\theta )$ , fyra gånger kvant Fisher-informationen i detta tillstånd kallas trohetskänslighet och betecknas

$\chi _{F}=4F_{Q}(\vert \psi _{0}(\theta )\rangle ).$

Fidelitetskänslighet mäter grundtillståndets känslighet för parametern, och dess divergens indikerar en kvantfasövergång. Detta beror på det tidigare nämnda sambandet med trohet: en divergerande kvantum Fisher-information betyder att $\vert \psi _{0}(\theta )\rangle$ och $\vert \psi _{0}(\theta +d\theta )\rangle$ är ortogonala mot varandra, för varje oändlig ändring i parameter $d\theta$ , och sägs därför genomgå en fasövergång i punkten $\theta$ .

Konvexitetsegenskaper

Quantum Fisher-informationen är lika med fyra gånger variansen för rena tillstånd

$F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}$ .

För blandade tillstånd, när sannolikheterna är parameteroberoende, dvs. när $p(\theta )=p$ , är Quantum Fisher-informationen konvex:

$F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q }}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].$

Quantum Fisher-informationen är den största funktionen som är konvex och som är lika med fyra gånger variansen för rena tillstånd. Det vill säga, det är lika med fyra gånger det konvexa taket av variansen

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\summa _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},$

där infimum är över alla nedbrytningar av densitetsmatrisen

$\varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .$

Observera att $\vert \Psi _{k}\rangle$ är inte nödvändigtvis ortogonala mot varandra. Ovanstående optimering kan skrivas om som en optimering över utrymmet med två kopior som

$\displaystyle F_{Q} [\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H) ^{2}\varrho _{12}],}$

så att $\varrho _{12}$ är ett symmetriskt separerbart tillstånd och

${\rm {Tr}}_{1}(\varrho _{12})={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})=\varrho .$

När sannolikheterna är $\theta$ -beroende, har en utökad konvexitetsrelation bevisats:

$displaystyle F_ {\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_ {i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}] ,}$

där ${\displaystyle F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta) \}]=\summa _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}} är den klassiska$ Fisher information associerad med sannolikheterna som bidrar till den konvexa nedbrytningen. Den första termen, på höger sida av ovanstående olikhet, kan betraktas som den genomsnittliga kvantinformationen från Fisher för densitetsmatriserna i den konvexa nedbrytningen.

Ojämlikheter för sammansatta system

Vi behöver förstå beteendet hos kvant Fisher-information i sammansatta system för att studera kvantmetrologi för system med många partiklar. För produktstater,

$F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity} }\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2 }]$

håller.

För den reducerade staten har vi

$F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_ {1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],$

där $\varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})$ .

Förhållande till förveckling

Det finns starka kopplingar mellan kvantmetrologi och kvantinformationsvetenskap . För ett multipartikelsystem av $N$ spin-1/2-partiklar

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N$

gäller för separerbara stater, där

$J_{z}=\summa _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},$

och $j_{z}^{(n)}$ är en vinkelmomentkomponent för en enda partikel. Maximum för allmänna kvanttillstånd ges av

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.$ Därför behövs kvantintrassling för att nå maximal precision i kvantmetrologi.

Dessutom, för kvanttillstånd med ett intrasslingsdjup $k$ ,

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}$

gäller, där $N/k\rfloor }$$, {\displaystyle N/k,}$ är det största heltal som är mindre än eller lika med och $r=N-sk$ är resten från att dividera $N$ med $k$ . Följaktligen behövs en högre och högre nivå av multipartit intrassling för att uppnå en bättre och bättre noggrannhet i parameteruppskattning. Det är möjligt att få en svagare men enklare gräns

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.$

Följaktligen erhålls en nedre gräns för intrasslingsdjupet som

${\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.$

Relation till Wigner-Yanase skev information

Wigner-Yanase-skevningsinformationen definieras som

$I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt { \varrho }}).$

Det följer att $I(\varrho ,H)$ är konvex i $\varrho .$

För quantum Fisher information och Wigner-Yanase skev information, ojämlikheten

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)$

gäller, där det råder en jämlikhet för rena stater.

Relation till variansen

För eventuell nedbrytning av densitetsmatrisen som ges av $p_{k}$ och $\vert \Psi _{k}\rangle$ relationen

$(\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k }(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]$

håller, där båda ojämlikheterna är snäva. Det vill säga, det finns en sönderdelning för vilken den andra olikheten är mättad, vilket är samma sak som att ange att Quantum Fisher-informationen är det konvexa taket av variansen över fyra, som diskuterats ovan. Det finns också en sönderdelning där den första ojämlikheten är mättad, vilket innebär att variansen är sitt eget konkava tak

$(\Delta H)^{2}=\sup _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\summa _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}.$