Symmetrisk logaritmisk derivata

Den symmetriska logaritmiska derivatan är en viktig kvantitet inom kvantmetrologi och är relaterad till kvant Fisher-informationen .

Definition

Låt $\rho$ och $A$ vara två operatorer, där $\rho$ är hermitisk och positiv halvdefinitiv . I de flesta applikationer $\rho$ och $A$ ytterligare egenskaper, att även $A$ är hermitisk och $\rho$ är en densitetsmatris (som dessutom är , också spårnormaliserade), men dessa krävs inte för definitionen.

Den symmetriska logaritmiska derivatan $L_{\varrho }(A)$ definieras implicit av ekvationen

$i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }( A)\}$

där $[X,Y]=XY-YX$ är kommutatorn och $\{X,Y\} =XY+YX$ är antikommutatorn. Explicit ges det av

$L_{\varrho }(A)=2i\sum _{k,l}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{l}}{\lambda _{k}+\lambda _ {l}}}\langle k\vert A\vert l\rangle \vert k\rangle \langle l\vert$

där $\lambda _{k}$ och $\vert k\rangle$ är egenvärdena och egentillstånden för ${\displaystyle \varrho } ,$ dvs $\varrho \vert k\rangle =\lambda _{k}\vert k\rangle$ och $\varrho =\sum _{k}\lambda _{k}\vert k\rangle \langle k\vert$ .

Formellt är kartan från operator $A$ till operator $L_{\varrho }(A)$ en (linjär) superoperator .

Egenskaper

Den symmetriska logaritmiska derivatan är linjär i $A$ :

$L_{\varrho }(\mu A)=\mu L_{\varrho }(A)$

$L_{\varrho }(A+B)=L_{\varrho }(A)+L_{\varrho }(B)$

Den symmetriska logaritmiska derivatan är hermitisk om dess argument $A$ är hermitisk:

$A=A^{\dolk }\Högerpil [L_{\varrho }(A)]^{\dolk }=L_{ \varrho }(A)$

Derivatan av uttrycket $\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)$ wrt ${\ displaystyle \theta }$ vid $\theta =0$ läses

${\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big [}\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A){\Big ]}{\bigg \vert }_{\theta =0}=i(\varrho AA\varrho )= i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}$

där den sista likheten är per definition av $L_{\varrho }(A)$ ; denna relation är ursprunget till namnet "symmetrisk logaritmisk derivata". Vidare får vi Taylor-expansionen

$\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)=\varrho +\underbrace {{\frac {1}{2}}\theta \{\varrho ,L_{\varrho }( A)\}} _{=i\theta [\varrho ,A]}+{\mathcal {O}}(\theta ^{2})$ .