Q-konstruktion

I algebra associerar Quillens Q-konstruktion till en exakt kategori (t.ex. en abelsk kategori ) en algebraisk K- teori . Mer exakt, givet en exakt kategori C , skapar konstruktionen ett topologiskt utrymme $B^{+}C$ så att $\pi _{0}(B^{+ }C)$ är Grothendieck-gruppen av C och, när C är kategorin av ändligt genererade projektiva moduler över en ring R , för $i=0,1,2$ , $\pi _{i}(B^{+}C)$ är den i -te K-gruppen av R i klassisk mening. (Beteckningen "+" är avsedd att antyda att konstruktionen lägger mer till klassificeringsutrymmet BC .) Man sätter

$K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)$

och kalla den den i -te K-gruppen av C . På liknande sätt definieras den i -te K-gruppen av C med koefficienter i en grupp G som homotopigruppen med koefficienter :

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G$ .

Konstruktionen är allmänt användbar och används för att definiera en algebraisk K-teori i ett icke-klassiskt sammanhang. Till exempel kan man definiera ekvivariant algebraisk K-teori som $\pi _{*}$ av $B^{+}$ av kategorin ekvivarianta skivor på ett schema.

Waldhausens S-konstruktion generaliserar Q-konstruktionen i en stabil mening ; i själva verket producerar den förra, som använder en mer allmän Waldhausen-kategori , ett spektrum istället för ett mellanslag. Graysons binära komplex ger också en konstruktion av algebraisk K-teori för exakta kategorier. Se även modulspektrum#K-teori för en K-teori för ett ringspektrum .

Konstruktionen

Låt C vara en exakt kategori; dvs en additiv fullständig underkategori av en abelsk kategori som är stängd under förlängning. Om det finns en exakt sekvens $0\to M'\to M\to M''\to 0$ i C , så kallas pilen från M′ en tillåten mono och pilen från M kallas en tillåten epi.

Låt QC vara kategorin vars objekt är desamma som de för C och morfismer från X till Y är isomorfismklasser av diagram $X\leftarrow Z\to Y$ så att den första pilen är en tillåten epi och det andra tillåtna mono- och tvådiagrammet är isomorfa om de bara skiljer sig åt i mitten och det finns en isomorfism mellan dem. Sammansättningen av morfismer ges av pullback.

Definiera ett topologiskt utrymme $B^{+}C$ med $B^{+}C=\Omega BQC$ där $\Omega$ är en loop space functor och $BQC$ är klassificeringsutrymmet för kategorin QC ( geometrisk realisering av nerven ). Som det visar sig är det unikt definierat upp till homotopi-ekvivalens (så notationen är motiverad.)

Operationer

Varje ringhomomorfism $R\to S$ inducerar $B^{+}P(R)\to B^{+}P(S) )$ och därmed ${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_$ där $P(R)$ är kategorin av ändligt genererade projektiva moduler över R . Man kan enkelt visa att denna karta (kallad överföring) överensstämmer med en som definieras i Milnors Introduktion till algebraisk K-teori . Konstruktionen är även kompatibel med upphängningen av en ring (jfr Grayson).

Jämförelse med den klassiska K-teorin för en ring

Ett teorem av Daniel Quillen säger att när C är kategorin av ändligt genererade projektiva moduler över en ring R , är $\pi _{i}(B^{+}C)$ i -:e K-gruppen av R i klassisk mening för $i=0,1,2$ . Det vanliga beviset för satsen (jfr Weibel 2013 ) bygger på en mellanliggande homotopiekvivalens. Om S är en symmetrisk monoidal kategori där varje morfism är en isomorfism, konstruerar man (jfr Grayson) kategorin $S^{-1}S$ som generaliserar Grothendieck-gruppkonstruktionen av en monoid. Låt C vara en exakt kategori där varje exakt sekvens delar sig, t.ex. kategorin av ändligt genererade projektiva moduler, och sätt $S=\operatörsnamn {iso} C$ , underkategorin till C med samma klass av objekt men med morfismer som är isomorfismer i C . Sedan finns det en "naturlig" homotopi-ekvivalens:

$\Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)$ .

Ekvivalensen är konstruerad enligt följande. Låt E vara kategorin vars objekt är korta exakta sekvenser i C och vars morfismer är isomorfismklasser av diagram mellan dem. Låt $f:E\to QC$ vara den funktion som skickar en kort exakt sekvens till den tredje termen i sekvensen. Notera att fibern ${\displaystyle f^{-1}(X)} ,$ som är en underkategori, består av exakta sekvenser vars tredje term är X . Detta gör E till en kategori fibrerad över $QC$ . Om du skriver $S^{-1}f$ för $S^{-1}E\to QC$ , finns det en uppenbar (därav naturlig) inkludering $\Omega BQC$ in i homotopifibern $F(BS^{-1}f)$ , som kan visas vara en homotopiekvivalens. Å andra sidan, med Quillens sats B , kan man visa att $B(S^{-1}S)$ är homotopin tillbakadragande av $BS^ {-1}f$ längs $*\to BQC$ och är således homotopi ekvivalent med $F(BS^{-1}f)$ .

Vi tar nu C för att vara kategorin av ändligt genererade projektiva moduler över en ring R och visar att $\pi _{i}B(S^{-1}S)$ är K $K_{i}$ för R i klassisk mening för $\displaystyle i=0,1,2}$ . Först och främst, per definition, $\pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)$ . Därefter $GL_{n}(R)=\operatörsnamn {Aut} (R^{n})\to S^{-1 }S$ ger oss:

$BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{- 1}S)$ .

(Här är $BGL(R)$ antingen klassificeringsutrymmet för kategorin $GL(R)$ eller Eilenberg–MacLane-utrymmet av typen ${\displaystyle K(GL(R),1)} ,$ vilket motsvarar samma sak.) Bilden ligger faktiskt i identitetskomponenten för $B(S) ^{-1}S)$ och så får vi:

$f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.$

Låt $S_{n}$ vara hela underkategorin av S som består av moduler som är isomorfa till $R^{n}$ (sålunda är $BS_{n}$ den anslutna komponent som innehåller $R^{n}$ ). Låt $e\in \pi _{0}(BS)$ vara komponenten som innehåller R . Sedan, genom en teorem av Quillen,

$H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[ \pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].$

En klass till vänster är alltså av formen $xe^{-n}$ . Men $x\mapsto xe^{m}$ induceras av verkan av $R^{m}\in S$ . Därav,

$H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n }(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.$

Eftersom $B(S^{-1}S)^{0}$ är en H -grupp,

$\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{ \text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))= GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).$

Det återstår att se $\pi _{2}$ är $K_{2}$ . När vi skriver $Ff$ för homotopifibern har vi den långa exakta sekvensen:

$\pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}( Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\till K_{1}(R).$

Från homotopiteorin vet vi att den andra termen är central; dvs $\pi _{1}(Ff)\to E(R)$ är en central förlängning . Det följer sedan av nästa lemma att $\pi _{1}(Ff)$ är den universella centrala förlängningen (dvs $\pi _{1} (Ff)$ är Steinberg-gruppen av R och kärnan är ${\displaystyle K_{2}(R)} .$ )

Lemma — Låt $f:X\to Y$ vara en kontinuerlig karta mellan anslutna CW-komplex. Om $f_{*}:H_{*}(X,L)\till H_{*}(Y,f^{ *}L)$ är en isomorfism för varje lokalt koefficientsystem L på X , alltså

$H_{1}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z } )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.$

Bevis: Homotopitypen för $Ff$ ändras inte om vi ersätter f med pullbacken ${\widetilde {f}}$ längs den universella täckningen av Y $\to Y$ . Således kan vi ersätta hypotesen med en att Y helt enkelt hänger ihop och $H_{p}(X,\mathbb {Z} )\ simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0$ . Nu säger Serre-spektralsekvenserna för $Ff\to X\to Y$ och ${\displaystyle *\to Y\to Y} :$

${}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y ,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Högerpil H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),$

${}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).$

Av jämförelsesatsen för spektralsekvenser följer att ${}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}$ ; dvs $Ff$ är acyklisk . (Av en slump, genom att vända argumentet, kan man säga att detta innebär $H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p} (Y,\mathbb {Z} );$ alltså hypotesen för lemma.) Därefter spektralsekvensen för den täckande ${\widetilde {Ff}}\to Ff$ med grupp $G=\pi _{1}(Ff)$ säger:

${}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}( Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).$

En inspektion av denna spektralsekvens ger det önskade resultatet.

• Daniel Grayson, högre algebraisk K-teori II [efter Daniel Quillen], 1976
•    Srinivas, V. (2008), Algebraic K -theory , Modern Birkhäuser Classics (Paperback reprint of the 1996 2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0 , Zbl 1125.1930
• Weibel, Charles , K-boken: En introduktion till algebraisk K-teori