Pythagoras fält

I algebra är ett Pythagoras fält ett fält där varje summa av två kvadrater är en kvadrat: på motsvarande sätt har det Pythagoras tal lika med 1. En Pythagoras förlängning av ett fält $F$ är en förlängning som erhålls genom att angränsa ett element ${\sqrt {1+\lambda ^{2}}}$ för vissa $\lambda$ i $F$ . Så ett pytagoreiskt fält är ett stängt fält för att ta pytagoreiska förlängningar. För vilket fält ${\displaystyle F} som helst$ finns det ett minimalt pythagoreiskt fält ${\textstyle F^{\mathrm {py} }}$ som innehåller det, unikt upp till isomorfism , kallat dess pythagoras stängning . Hilbertfältet är det minimalt ordnade Pythagoras fält .

Egenskaper

Varje euklidiskt fält (ett ordnat fält där alla icke-negativa element är kvadrater) är ett ordnat pytagoreiskt fält, men det omvända gäller inte. Ett kvadratiskt stängt fält är pytagoreiskt fält men inte omvänt ( $\mathbf {R}$ är pytagoreiskt); dock är ett icke- formellt verkligt Pythagoras fält kvadratiskt stängt.

Witt -ringen i ett Pythagoras fält är av ordning 2 om fältet inte är formellt verkligt , och i övrigt vridningsfritt. För ett fält $F$ finns en exakt sekvens som involverar Witt-ringarna

$0\rightarrow \operatörsnamn {Tor} IW(F)\rightarrow W(F)\rightarrow W(F^{\mathrm {py} })$

där $IW(F)$ är det grundläggande idealet för Witt-ringen av $F$ och $\operatorname {Tor} IW(F)$ betecknar dess torsionsundergrupp (som bara är nollradikalen av W $\displaystyle W(F)}$ ).

Likvärdiga förhållanden

Följande villkor på ett fält F motsvarar att F är Pythagoras:

• Den allmänna u -invarianten u ( F ) är 0 eller 1.
• Om ab inte är en kvadrat i F så finns det en ordning på F där a , b har olika tecken.
• F är skärningspunkten för dess euklidiska förslutningar .

Modeller av geometri

Pythagoras fält kan användas för att konstruera modeller för några av Hilberts axiom för geometri ( Iyanaga & Kawada 1980, 163 C). Koordinatgeometrin som ges av $F^{n}$ för $F$ ett Pythagoras fält uppfyller många av Hilberts axiom, såsom incidensaxiom, kongruensaxiom och parallellaxiom. Men i allmänhet behöver denna geometri inte uppfylla alla Hilberts axiom om inte fältet F har extra egenskaper: till exempel, om fältet också är ordnat så kommer geometrin att uppfylla Hilberts ordningsaxiom, och om fältet också är komplett kommer geometrin att uppfylla Hilberts fullständighetsaxiom.

Den pytagoreiska stängningen av ett icke-arkimediskt ordnat fält , såsom den pytagoreiska stängningen av fältet med rationella funktioner $\mathbf {Q} (x)$ i en variabel över de rationella talen $\mathbf {Q} ,$ kan användas för att konstruera icke-arkimediska geometrier som uppfyller många av Hilberts axiom men inte hans axiom för fullständighet. Dehn använde ett sådant fält för att konstruera två Dehn-plan , exempel på icke-legendrisk geometri respektive semi-euklidisk geometri, där det finns många linjer genom en punkt som inte skär en given linje utan där summan av vinklarna i en triangel är vid minst π.

Diller-Dress teorem

Denna sats säger att om E / F är en finit fältförlängning och E är Pythagoras, så är F så också . Som en konsekvens är inget algebraiskt talfält pytagoreiskt, eftersom alla sådana fält är ändliga över Q , vilket inte är pytagoreiskt.

Superpytagoreiska fält

Ett superpytagoreiskt fält F är ett formellt reellt fält med egenskapen att om S är en undergrupp av index 2 i F ^∗ och inte innehåller −1, så definierar S en ordning på F . En ekvivalent definition är att F är ett formellt reellt fält där mängden kvadrater bildar en solfjäder . Ett superpytagoreiskt fält är nödvändigtvis pytagoreiskt.

Analogen till Diller-Dress-satsen gäller: om E / F är en finit förlängning och E är superpytagorean så är F . I motsatt riktning, om F är superpytagorean och E är ett formellt reellt fält som innehåller F och som ingår i den kvadratiska stängningen av F så är E superpytagorean.

Anteckningar

•   Dehn, Max (1900), " Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007/BF01448980 , ISSN 0025-58131 , J047301 .  
•    Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K -theory , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4041-X , Zbl 1103.12002
•    Elman, Richard; Lam, TY (1972), "Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields", American Journal of Mathematics , 94 : 1155–1194, doi : 10.2307 /2373568 , ISSN 0002-9327 , 876 8327 3 , 855 86 88 3 , 855 37 3 , 8555  
•    Greenberg, Marvin J. (2010), "Gamla och nya resultat i grunden för elementära plan euklidiska och icke-euklidiska geometrier", Am. Matematik. mån. , 117 (3): 198–219, ISSN 0002-9890 , Zbl 1206.51015
•    Iyanaga, Shôkichi ; Kawada, Yukiyosi, red. (1980) [1977], Encyclopedic dictionary of mathematics, Volym I, II , Översatt från den andra japanska upplagan, pocketversion av 1977 års upplaga (1:a upplagan), MIT Press , ISBN 978-0-262-59010-5 , MR 0591028
•    Lam, TY (1983), Beställningar, värderingar och kvadratiska former , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 52, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1 , Zbl 0516.12001
•    Lam, TY (2005), "Kapitel VIII avsnitt 4: Pythagoras fält", Introduktion till kvadratiska former över fält , Graduate Studies in Mathematics , vol. 67, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 255–264, ISBN 978-0-8218-1095-8 , MR 2104929
•   Martin, George E. (1998), Geometriska konstruktioner , Grundutbildningstexter i matematik , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98276-0
•    Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , Zbl 0292.10016
•    Rajwade, AR (1993), Squares , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 171, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42668-5 , Zbl 0785.11022