Geometriska konstruktioner

Geometriska konstruktioner är en matematiklärobok om konstruerbara tal , och mer allmänt om att använda abstrakt algebra för att modellera de uppsättningar av punkter som kan skapas genom vissa typer av geometrisk konstruktion, och använda Galois teori för att bevisa gränser för de konstruktioner som kan utföras. Den skrevs av George E. Martin, och publicerades av Springer-Verlag 1998 som volym 81 av deras bokserie om Undergraduate Texts in Mathematics .

Ämnen

Geometriska konstruktioner har tio kapitel. De två första diskuterar konstruktioner av rakled och kompass , inklusive många av konstruktionerna från Euklids beståndsdelar , och deras algebraiska modell, de konstruerbara talen . De inkluderar också omöjlighetsresultat för de klassiska grekiska problemen med rätkants- och kompasskonstruktioner. Omöjligheten av att dubbla kuben och treskära vinkeln bevisas algebraiskt, medan omöjligheten att kvadrera cirkeln och konstruera några regelbundna polygoner nämns men inte bevisas.

De kommande fyra kapitlen studerar vad som händer när användningen av kompassen eller rätlinan begränsas: enligt Mohr- Mascheroni-satsen är det ingen förlust i konstruktionsförmåga om man bara använder en kompass, men en rätning utan kompass har betydligt mindre kraft, om inte en hjälpcirkel tillhandahålls ( Poncelet–Steiners sats) . Dessa kapitel diskuterar också begränsningen av kompasser till avdelare, verktyg som kan överföra linjesegment till lika segment av andra linjer men inte kan användas för att hitta skärningspunkter mellan cirklar med andra kurvor, eller till rostiga kompasser, kompasser som inte kan ändra radie, och de använder avdelare för att konstruera Malfatti-cirklarna .

De sista tre kapitlen går bortom rätlinjen och kompassen till andra konstruktionsverktyg. En mycket begränsad form av konstruktion, "tändsticksgeometrin" av Thomas Rayner Dawson från 1930-talet, använder endast enhetslinjesegment, som kan placeras längs varandra, skäras eller vridas runt en av deras ändpunkter; trots dess begränsade karaktär visar sig detta vara lika kraftfullt som raksträcka och kompass. Kapitel 9 behandlar neusiskonstruktioner med en markerad linjal, och det sista kapitlet undersöker matematiken för pappersvikning ; de markerade linjalen och pappersvikningsmodellerna är likvärdiga algebraiskt, och båda tillåter konstruktioner för vinkeltrisektion.

Förutom matematiken den beskriver, innehåller Geometric Constructions många delar av historisk bakgrund, citat och pekare till källmaterial för ytterligare läsning, och lösningar och tips till dess många övningar.

Publik och mottagning

Martin tänkte ursprungligen att hans bok skulle vara en lärobok på forskarnivå för elever som planerar att bli matematiklärare. Men förutom denna användning kan den också läsas av alla som är intresserade av geometrins historia och har en bakgrund på grundnivå i abstrakt algebra, eller användas som ett referensverk på temat geometriska konstruktioner.

Recensenten Horst Martini skriver att den "förmedlar glädje i ämnet", medan Maurice Burke beskriver boken som en som "bjuder in läsaren att spela spelet, ta täta sidoturer - många oväntade och njuta av åkturen".