Dehn plan
Inom geometri introducerade Max Dehn två exempel på plan, en semi-euklidisk geometri och en icke-legendrisk geometri , som har oändligt många linjer parallella med en given som passerar genom en given punkt, men där summan av vinklarna i en triangel är åtminstone π . Ett liknande fenomen förekommer i hyperbolisk geometri , förutom att summan av vinklarna i en triangel är mindre än π . Dehns exempel använder ett icke-arkimediskt fält, så att det arkimediska axiomet kränks. De introducerades av Max Dehn ( 1900 ) och diskuterades av Hilbert (1902 , s. 127–130, eller s. 42–43 i några senare upplagor).
Dehns icke-arkimediska fält Ω( t )
För att konstruera sina geometrier använde Dehn ett icke-arkimediskt ordnat pytagoreiskt fält Ω( t ), en pytagoreisk stängning av fältet för rationella funktioner R ( t ), bestående av det minsta fältet av reella funktioner på den reella linjen som innehåller den reella konstanter, identitetsfunktionen t (tar valfritt reellt tal till sig) och stängs under operationen . Fältet Ω( t ) ordnas genom att sätta x > y om funktionen x är större än y för tillräckligt stora realer. Ett element x av Ω( t ) kallas finit om m < x < n för några heltal m , n , och kallas oändligt annars.
Dehns halveuklidiska geometri
Mängden av alla par ( x , y ), där x och y är vilka som helst (eventuellt oändliga) element i fältet Ω( t ), och med den vanliga metriken
som tar värden i Ω( t ), ger en modell av euklidisk geometri . Parallellpostulatet är sant i denna modell, men om avvikelsen från vinkelrät är infinitesimal (vilket betyder mindre än något positivt rationellt tal), skär de skärande linjerna i en punkt som inte är i den finita delen av planet. Därför, om modellen är begränsad till den ändliga delen av planet (punkter ( x , y ) med x och y finita), erhålls en geometri där det parallella postulatet misslyckas men summan av vinklarna i en triangel är π . Detta är Dehns semi-euklidiska geometri. Det diskuteras i Rucker (1982 , s. 91–2).
Dehns icke-legendriska geometri
I samma papper konstruerade Dehn också ett exempel på en icke-legendrisk geometri där det finns oändligt många linjer genom en punkt som inte möter en annan linje, men summan av vinklarna i en triangel överstiger π . Riemanns elliptiska geometri över Ω( t ) består av det projektiva planet över Ω( t ), som kan identifieras med punkternas affina plan ( x : y :1) tillsammans med "linjen i oändligheten", och har egenskapen att summan av vinklarna för en triangel är större än π Den icke-legendriska geometrin består av punkterna ( x : y :1) i detta affina delrum så att tx och ty är ändliga (där som ovan t är elementet i Ω( t ) representerad av identitetsfunktionen). Legendres sats säger att summan av vinklarna i en triangel är högst π , men antar Arkimedes axiom, och Dehns exempel visar att Legendres sats inte behöver hålla om Arkimedes axiom släpps.
- Dehn, Max (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007/BF01448980 , ISSN 0025-58131 , 0025-58131 , JFM 672C1 . 8
- Hilbert, David (1902), Geometrins grunder (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- Rucker, Rudy (1982), Infinity and the mind. The science and philosophy of the infinite , Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1 , MR 0658492