Punktklass

Inom det matematiska området beskrivande mängdlära är en punktklass en samling av poängmängder , där en punkt vanligtvis förstås vara en del av ett perfekt polskt rum . I praktiken kännetecknas en punktklass vanligtvis av någon sorts definierbarhetsegenskap ; till exempel är samlingen av alla öppna uppsättningar i vissa fasta samlingar av polska utrymmen en poängklass. (En öppen mängd kan ses som i någon mening definierbar eftersom den inte kan vara en rent godtycklig samling av punkter; för varje punkt i mängden måste alla punkter tillräckligt nära den punkten också finnas i mängden.)

Punktklasser kan användas i att formulera många viktiga principer och satser från mängdlära och verklig analys . Starka mängdteoretiska principer kan anges i termer av bestämning av olika punktklasser, vilket i sin tur innebär att mängder i dessa punktklasser (eller ibland större) har regularitetsegenskaper som Lebesgue-mätbarhet (och faktiskt universell mätbarhet ), Baires egendom . och den perfekta uppsättningsegenskapen .

Grundläggande ramverk

I praktiken förenklar beskrivande mängdteoretiker ofta saker genom att arbeta i ett fast polskt utrymme som Baire-rymden eller ibland Cantor-rymden , som var och en har fördelen av att vara nolldimensionell och faktiskt homeomorfa till sina ändliga eller räknebara krafter , så att överväganden om dimensionalitet uppstår aldrig. Yiannis Moschovakis ger större allmänhet genom att en gång för alla fixa en samling av underliggande polska utrymmen, inklusive uppsättningen av alla naturliga, uppsättningen av alla reals, Baire-rymden och Cantor-rymden, och i övrigt låta läsaren slänga in vilken önskad perfekt polska som helst. Plats. Sedan definierar han ett produktutrymme som vilken ändlig kartesisk produkt som helst av dessa underliggande utrymmen. Då betyder till exempel punktklassen ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ av alla öppna uppsättningar samlingen av alla öppna delmängder av ett av dessa produktutrymmen. Detta tillvägagångssätt förhindrar att ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ är en riktig klass , samtidigt som man undviker överdriven specificitet när det gäller de särskilda polska utrymmen som beaktas (med tanke på att fokus ligger på det faktum att ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ är samlingen av öppna uppsättningar, inte på själva mellanslagen).

Punktklasser med fet stil

Punktklasserna i Borel-hierarkin , och i den mer komplexa projektiva hierarkin , representeras av grekiska under- och upphöjda bokstäver i fetstil ; till exempel, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ är punktklassen för alla slutna mängder , ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2} ^{0}$ är punktklassen för alla F _σ -mängder, ${\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}$ är samlingen av alla mängder som samtidigt är F _σ och G _δ , och ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ är punktklassen för alla analytiska uppsättningar .

Uppsättningar i sådana punktklasser behöver bara vara "definierbara" upp till en punkt. Till exempel stängs varje singeluppsättning i ett polskt utrymme, och därmed ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ . Därför kan det inte vara så att varje ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ uppsättning måste vara "mer definierbar" än ett godtyckligt element i ett polskt utrymme (säg en godtycklig reell antal, eller en godtycklig räknebar sekvens av naturliga tal). Punktklasser med fet stil kan dock (och gör det i praktiken vanligtvis) att mängder i klassen är definierbara i förhållande till något reellt tal, taget som ett orakel . I den meningen är medlemskap i en punktklass med fetstil en definierbarhetsegenskap, även om det inte är absolut definierbarhet, utan endast definierbarhet med avseende på ett möjligen odefinierbart reellt tal.

Punktklasser med fet stil, eller åtminstone de som vanligtvis betraktas, är stängda under Wadge-reducerbarhet ; det vill säga, givet en mängd i punktklassen, är dess inversa bild under en kontinuerlig funktion (från ett produktutrymme till det utrymme som den givna mängden är en delmängd av) också i den givna punktklassen. Således är en punktklass med fet stil en nedåtstängd förening av Wadge-grader .

Lightface poängklasser

Borel- och projektivhierarkierna har analoger i effektiv deskriptiv mängdteori där definierbarhetsegenskapen inte längre relativiseras till ett orakel, utan görs absolut. Till exempel, om man fixar en samling grundläggande öppna stadsdelar (säg, i Baire-rymden, är samlingen av uppsättningar av formen { x ∈ω ^ω $\mid$ s ett initialt segment av x } för varje fixerad finita sekvenser av naturliga tal), sedan kan de öppna, eller ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ , uppsättningar karakteriseras som alla (godtyckliga) sammanslutningar av grundläggande öppna stadsdelar. De analoga $\Sigma _{1}^{0}$ -mängderna, med en lightface $\Sigma$ , är inte längre godtyckliga föreningar av sådana stadsdelar, utan beräkningsbara föreningar av dem. Det vill säga, en mängd är lightface ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} ,$ även kallad effektiv öppen , om det finns en beräkningsbar mängd S av finita sekvenser av naturliga så att den givna mängden är unionen av mängderna { x ∈ω ^ω $\mid$ s är ett initialt segment av x } för s i S .

En uppsättning är lightface $\Pi _{1}^{0}$ om den är komplementet till en $\Sigma _{1}^{0}$ -uppsättning. Således har varje $\Sigma _{1}^{0}$ uppsättning minst ett index , som beskriver den beräkningsbara funktionen som räknar upp de grundläggande öppna uppsättningarna från vilka den är sammansatt; i själva verket kommer det att ha oändligt många sådana index. På liknande sätt beskriver ett index för en $\Pi _{1}^{0}$ uppsättning B den beräkningsbara funktionen som räknar upp de grundläggande öppna uppsättningarna i komplementet till B .

En mängd A är lightface $\Sigma _{2}^{0}$ om den är en förening av en beräkningsbar sekvens av $\Pi _{1}^{0}$ uppsättningar (som är, det finns en beräkningsbar uppräkning av index för $\Pi _{1}^{0}$ mängder så att A är unionen av dessa mängder). Detta förhållande mellan lightface-uppsättningar och deras index används för att utöka lightface-Borel-hierarkin till transfiniten, via rekursiva ordinaler . Detta producerar den hyperaritmetiska hierarkin , som är den lätta analogen av Borel-hierarkin. (De ändliga nivåerna i den hyperaritmetiska hierarkin är kända som den aritmetiska hierarkin .)

En liknande behandling kan tillämpas på den projektiva hierarkin. Dess lightface-analog är känd som den analytiska hierarkin .

Sammanfattning

Varje klass är minst lika stor som klasserna ovanför den.

Ljus ansikte		Fetstil
0 00 00 0 Σ = Π = Δ (ibland samma som Δ 0 1 )		Σ 0 0 = Π 0 0 = Δ 0 0 (om definierat)
Δ 0 1 = rekursiv		Δ 0 1 = clopen
Σ 0 1 = rekursivt uppräknad	Π 0 1 = ko-rekursivt uppräknad	Σ 0 1 = G = öppen	Π 0 1 = F = stängd
Δ 0 2		Δ 0 2
Σ 0 2	Π 0 2	Σ2 0 _ = F σ	Π2 0 _ = G 5
Δ 0 3		Δ 0 3
Σ 0 3	Π 0 3	Σ3 0 _ = G δσ	Π3 0 _ = F σδ
⋮		⋮
Σ 0 <ω = Π 0 <ω = Δ 0 <ω = Σ 1 0 = Π 1 0 = Δ 1 0 = aritmetiskt		Σ 0 <ω = Π 0 <ω = Δ 0 <ω = Σ 1 0 = Π 1 0 = Δ 1 0 = aritmetisk fetstil
⋮		⋮
Δ 0 α (α rekursiv )		Δ 0 α (α räknarbar )
Σ 0 α	Π 0 a	Σ 0 α	Π 0 a
⋮		⋮
Σ 0 ω CK 1 = Π 0 ω CK 1 = Δ 0 ω CK 1 = Δ 1 1 = hyperaritmetisk		Σ 0 ω 1 = Π 0 ω 1 = Δ 0 ω 1 = Δ 1 1 = B = Borel
Σ 1 1 = ljusansiktsanalys	Π 1 1 = lightface koanalytisk	Σ 1 1 = A = analytisk	Π 1 1 = CA = koanalytisk
Δ 1 2		Δ 1 2
Σ 1 2	Π 1 2	Σ12 _ = PCA	Π12 _ = CPCA
Δ 1 3		Δ 1 3
Σ 1 3	Π 1 3	Σ13 _ = PCPCA	Π13 _ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ 1 <ω = Π 1 <ω = Δ 1 <ω = Σ 2 0 = Π 2 0 = Δ 2 0 = analytisk		Σ 1 <ω = Π 1 <ω = Δ 1 <ω = Σ 2 0 = Π 2 0 = Δ 2 0 = P = projektiv
⋮		⋮

•   Moschovakis, Yiannis N. (1980). Beskrivande mängdteori . Norra Holland. ISBN 0-444-70199-0 .