Perfekt fast egendom

I beskrivande mängdteori har en delmängd av ett polskt utrymme den perfekta mängdegenskapen om den antingen är räknebar eller har en icke-tom perfekt delmängd (Kechris 1995, s. 150). Observera att att ha egenskapen perfekt uppsättning inte är detsamma som att ha en perfekt uppsättning .

Eftersom icke-tomma perfekta mängder i ett polskt rum alltid har kontinuumets kardinalitet och realerna bildar ett polskt rum, kan en uppsättning realer med egenskapen perfektmängd inte vara ett motexempel till kontinuumhypotesen , som anges i formen att varje oräknelig mängd av realer har kontinuumets kardinalitet.

Cantor –Bendixson-satsen säger att slutna mängder av ett polskt rum X har den perfekta mängdegenskapen i en särskilt stark form: vilken sluten delmängd som helst av X kan skrivas unikt som den disjunkta föreningen av en perfekt mängd och en räkningsbar mängd. I synnerhet har varje oräkneligt polskt utrymme den perfekta uppsättningsegenskapen och kan skrivas som den osammanhängande föreningen av en perfekt uppsättning och en räknebar öppen uppsättning.

Valets axiom innebär att det finns uppsättningar av realer som inte har den perfekta uppsättningsegenskapen, såsom Bernstein-uppsättningar . Men i Solovays modell , som uppfyller alla axiom för ZF men inte valets axiom, har varje uppsättning realer den perfekta uppsättningsegenskapen, så användningen av valets axiom är nödvändig. Varje analytisk uppsättning har den perfekta uppsättningsegenskapen. Det följer av förekomsten av tillräckligt stora kardinaler att varje projektiv uppsättning har den perfekta uppsättningsegenskapen.

•   Kechris, Alexander S. (1995), Classical Descriptive Set Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9