Potentiell gradient

Inom fysik , kemi och biologi är en potentialgradient den lokala förändringshastigheten för potentialen med avseende på förskjutning , dvs rumslig derivata eller gradient . Denna mängd förekommer ofta i ekvationer av fysiska processer eftersom det leder till någon form av flöde .

Definition

En dimension

Den enklaste definitionen för en potentiell gradient F i en dimension är följande:

$F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1} }}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!$

där ϕ ( x ) är någon typ av skalär potential och x är förskjutning (inte avstånd ) i x- riktningen, märks två olika positioner x ₁ , x ₂ , och potentialer vid dessa punkter, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . I gränsen för infinitesimala förskjutningar blir förhållandet mellan skillnader ett förhållande mellan skillnader :

$F={\frac {{\rm {d}}\phi {{\rm {d}}x}}.\,\!$

Riktningen för den elektriska potentialgradienten är från $x_{1}$ till $x_{2}$ .

Tre dimensioner

I tre dimensioner gör kartesiska koordinater det klart att den resulterande potentialgradienten är summan av potentialgradienterna i varje riktning :

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{ \partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{ \partial z}}\,\!$

där e _x , e _y , e _z är enhetsvektorer i x-, y- och z- riktningarna. Detta kan skrivas kompakt i termer av gradientoperatorn ∇ ,

$\mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!$

även om denna slutliga form gäller i vilket krökt koordinatsystem som helst , inte bara kartesiskt.

Detta uttryck representerar en signifikant egenskap hos vilket konservativt vektorfält F som helst, nämligen F har en motsvarande potential ϕ .

Med hjälp av Stokes' teorem anges detta på samma sätt som

$\nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!$

vilket betyder att krullen , betecknad ∇×, för vektorfältet försvinner.

Fysik

Newtonsk gravitation

I fallet med gravitationsfältet g , som kan visas vara konservativt, är det lika med gradienten i gravitationspotential Φ :

$\mathbf {g} =-\nabla \Phi .\,\!$

Det finns motsatta tecken mellan gravitationsfält och potential, eftersom potentialgradienten och fältet är motsatta i riktning: när potentialen ökar, minskar gravitationsfältets styrka och vice versa.

Elektromagnetism

Huvudartiklar: Maxwells ekvationer och matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet

I elektrostatik är det elektriska fältet E oberoende av tiden t , så det finns ingen induktion av ett tidsberoende magnetfält B enligt Faradays induktionslag :

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0} }\,,$

vilket antyder att E är gradienten för den elektriska potentialen V , identisk med det klassiska gravitationsfältet:

$-\mathbf {E} =\nabla V.\,\!$

Inom elektrodynamik är E - fältet tidsberoende och inducerar ett tidsberoende B- fält också (igen enligt Faradays lag), så kurvan för E är inte noll som tidigare, vilket innebär att det elektriska fältet inte längre är gradienten för elektrisk potential. En tidsberoende term måste läggas till:

$-\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!$

där A är den elektromagnetiska vektorpotentialen . Detta sista potentiella uttryck reducerar faktiskt Faradays lag till en identitet.

Vätskemekanik

Inom vätskemekanik beskriver hastighetsfältet v vätskerörelsen . Ett irrotationsflöde betyder att hastighetsfältet är konservativt, eller på motsvarande sätt är virvel- pseudovektorfältet ω noll :

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.$

Detta gör att hastighetspotentialen helt enkelt kan definieras som:

$\mathbf {v} =\nabla \phi$

Kemi

Huvudartikel: Elektrodpotentialer

I en elektrokemisk halvcell , vid gränsytan mellan elektrolyten (en jonlösning ) och metallelektroden , är den elektriska potentialskillnaden som standard :

$\Delta \phi _{(M,M^{+z })}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^ {+z}}\,\!$

där R = gaskonstant , T = lösningstemperatur , z = metallens valens , e = elementär laddning , N _A = Avogadro-konstant och en _{M ^+z} är aktiviteten hos jonerna i lösning. Storheter med upphöjd ⊖ anger att mätningen är gjord under standardförhållanden . Potentialgradienten är relativt abrupt, eftersom det finns en nästan bestämd gräns mellan metallen och lösningen, därav gränssnittstermen.

Biologi

Inom biologi är en potentialgradient nettoskillnaden i elektrisk laddning över ett cellmembran .

Icke-unikhet hos potentialer

Eftersom gradienter i potentialer motsvarar fysiska fält gör det ingen skillnad om en konstant läggs till (den raderas av gradientoperatorn ∇ som inkluderar partiell differentiering ). Detta betyder att det inte finns något sätt att säga vad det "absoluta värdet" för potentialen "är" - potentialens nollvärde är helt godtyckligt och kan väljas var som helst av bekvämlighet (även "i oändligheten"). Denna idé gäller även vektorpotentialer och utnyttjas i klassisk fältteori och även mätfältsteori .

Absoluta värden på potentialer är inte fysiskt observerbara, bara gradienter och vägberoende potentialskillnader är det. Aharonov-Bohm-effekten är emellertid en kvantmekanisk effekt som illustrerar att elektromagnetiska potentialer som inte är noll längs en sluten slinga (även när E- och B -fälten är noll överallt i regionen) leder till förändringar i fasen av vågfunktionen av en elektriskt laddad partikel i området, så potentialerna verkar ha mätbar betydelse.

Potentiella teori

Fältekvationer , såsom Gauss lagar för elektricitet , för magnetism och för gravitation , kan skrivas i formen:

$\nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho$

där ρ är den elektriska laddningstätheten , monopoldensiteten (om de skulle finnas) eller massdensiteten och X är en konstant (i termer av fysikaliska konstanter G , ε ₀ , μ ₀ och andra numeriska faktorer).

Skalära potentialgradienter leder till Poissons ekvation :

$\nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\ rho$

En allmän teori om potentialer har utvecklats för att lösa denna ekvation för potentialen. Gradienten för den lösningen ger det fysiska fältet, vilket löser fältekvationen.

Se även

• Tensorer i kurvlinjära koordinater