Polär sinus

I geometri generaliserar den polära sinus vinkelns sinusfunktion till en polytops spetsvinkel . Det betecknas med psin .

Definition

n vektorer i n -dimensionellt rymd

Tolkningen av 3D- volymer för vänster: en parallellepiped (Ω i polär sinusdefinition) och höger: en kuboid (Π i definition). Tolkningen är likartad i högre dimensioner.

Låt v ₁ , ..., v _n ( n ≥ 1) vara icke-noll euklidiska vektorer i n -dimensionellt utrymme ( R ⁿ ) som är riktade från en vertex på en parallellotop och bildar kanterna på parallellotopen. Spetsvinkelns polära sinus är:

$\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\ frac {\Omega }{\Pi }},$

där täljaren är avgörande

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,$

vilket är lika med den teckenförsedda hypervolymen av parallellotopen med vektorkanter

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\ \mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf { v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}$

och där nämnaren är den n -faldiga produkten

$\Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|$

av vektorernas storlek , vilket är lika med hypervolymen för den n -dimensionella hyperrektangeln med kanter lika med storleken på vektorerna || v ₁ ||, || v ₂ ||, ... || v _n || snarare än vektorerna själva. Se även Ericksson.

Parallellotopen är som en "squashed hyperrektangel", så den har mindre hypervolym än hyperrektangeln, vilket betyder (se bilden för 3d-fallet):

$|\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatörsnamn {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,$

som för den vanliga sinus, med endera bunden nås endast i det fall att alla vektorer är ömsesidigt ortogonala .

I fallet n = 2 är den polära sinus den ordinarie sinus för vinkeln mellan de två vektorerna.

I högre dimensioner

En icke-negativ version av den polära sinus som fungerar i vilket m -dimensionellt utrymme som helst kan definieras med hjälp av gramdeterminanten . Täljaren anges som

$\Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v } _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _ {1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,$

där det upphöjda T indikerar matristransposition . I fallet m = n , är detta ekvivalent med det absoluta värdet av den tidigare givna definitionen. Observera att om n > m så kommer determinanten att vara av en singular n × n matris, vilket ger Ω = 0 , eftersom det inte är möjligt att ha n linjärt oberoende vektorer i m -dimensionellt rymd.

Egenskaper

Utbyte av vektorer

Den polära sinusen ändrar tecken när två vektorer byts om, på grund av antisymmetrin av radbyte i determinanten; dess absoluta värde kommer dock att förbli oförändrat.

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v } _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\ mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{ bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}$

Invarians under skalär multiplikation av vektorer

Den polära sinusen ändras inte om alla vektorerna v ₁ , ..., v _n skalärmultipliceras med positiva konstanter c _i , på grund av faktorisering

${\begin{aligned}\operatörsnamn {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\ frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{ n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\ frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\ börja{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i= 1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatörsnamn {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf { v} _{n}).\end{aligned}}$

Om ett udda antal av dessa konstanter istället är negativa, kommer tecknet för den polära sinusen att ändras; dess absoluta värde kommer dock att förbli oförändrat.

Försvinner med linjära beroenden

Om vektorerna inte är linjärt oberoende blir den polära sinus noll. Detta kommer alltid att vara så i det degenererade fallet att antalet dimensioner m är strikt mindre än antalet vektorer n .

Förhållande till parvisa cosinus

Cosinus för vinkeln mellan två icke-nollvektorer ges av

$\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})= {\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2} \|}}\,$

med hjälp av dot-produkten . Jämförelse av detta uttryck med definitionen av det absoluta värdet av den polära sinus som ges ovan ger:

$\left|\operatörsnamn {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[ {\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf { v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\ mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos (\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].$

I synnerhet för n = 2 är detta ekvivalent med

$\sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _ {2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,$

som är Pythagoras sats .

Historia

Polar sinus undersöktes av Euler på 1700-talet.

Se även

• Trigonometriska funktioner
• Lista över trigonometriska identiteter
• Gedigen vinkel
• Simplex
• Sinuslagen
• Korsprodukt och sjudimensionell korsprodukt
• Graderad algebra
• Exteriört derivat
• Differentialgeometri
• Volymintegral
• Mått (matematik)
• Produktintegral

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Polar Sine" . MathWorld .