Poisson–Lie-gruppen

I matematik är en Poisson–Lie-grupp en Poisson-grenrör som också är en Lie-grupp , där gruppmultiplikationen är kompatibel med Poisson- algebrastrukturen på grenröret.

Den infinitesimala motsvarigheten till en Poisson–Lie-grupp är en Lie-bialgebra , i analogi med Lie-algebras som de infinitesimala motsvarigheterna till Lie-grupper.

Många kvantgrupper är kvantiseringar av Poisson-algebra av funktioner på en Poisson-Lie-grupp.

Definition

En Poisson–Lie-grupp är en Lie-grupp $G$ utrustad med en Poisson-parentes för vilken gruppmultiplikationen $\mu :G\times G\to G$ med $\mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}$ är en Poisson-karta , där grenröret $G\ gånger G$ har fått strukturen för ett produkt-Poisson-grenrör.

Följande identitet måste uttryckligen gälla för en Poisson–Lie-grupp:

\{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+ \{f_{1}\circ R_{g^{\prime }},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)

där $f_{1}$ och $f_{2}$ är verkligt värdefulla, jämna funktioner på Lie-gruppen, medan $g$ och $g'$ är delar av Lie-gruppen. Här $L_{g}$ vänstermultiplikation och $R_{g}$ betecknar högermultiplikation.

Om ${\mathcal {P}}$ anger motsvarande Poisson-bivector på $G$ , kan villkoret ovan anges på samma sätt som

{\mathcal {P}}(gg')=L_{g\ast }( {\mathcal {P}}(g'))+R_{g'\ast }({\mathcal {P}}(g))

I synnerhet om man tar $g=g'=e$ får man ${\mathcal {P}}(e)=0$ , eller motsvarande $\{f,g\}(e)=0$ . Genom att tillämpa Weinsteins splittingsats på $e$ ser man att icke-trivial Poisson-Lie-struktur aldrig är symplektisk, inte ens av konstant rang.

Poisson-Lie grupper - Lie bialgebra korrespondens

Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ för en Poisson–Lie-grupp har en naturlig struktur av Lie-koalgebra som ges genom att linearisera Poisson-tensorn $P:G\ till TG\wedge TG$ vid identiteten, dvs ${\textstyle \delta :=d_{e}P:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g }}\wedge {\mathfrak {g}}}$ är en comultiplication . Dessutom är algebra och koalgebrastrukturen kompatibla, dvs ${\mathfrak {g}}$ är en Lie bialgebra ,

Den klassiska Lie-grupp-Lie-algebraöverensstämmelsen , som ger en ekvivalens av kategorier mellan enkelt sammankopplade Lie-grupper och ändliga-dimensionella Lie-algebraer, utökades av Drinfeld till en ekvivalens av kategorier mellan enkelt sammankopplade Poisson-Lie-grupper och finita-dimensionella Lie-bialgebror.

Tack vare Drinfelds teorem har varje Poisson–Lie-grupp ${\displaystyle G} en$ dubbel Poisson–Lie-grupp , definierad som Poisson–Lie-gruppen som integrerar det dubbla ${\mathfrak {g}}^{*}$ av dess bialgebra.

Homomorfismer

En Poisson–Lie-grupphomomorfism $\phi :G\to H$ definieras som både en Lie-grupphomomorfism och en Poissonkarta. Även om detta är den "uppenbara" definitionen, är varken vänsteröversättningar eller högeröversättningar Poisson-kartor. Dessutom är inversionskartan $\iota :G\to G$ med $\iota (g)=g^{-1}$ inte en Poisson karta antingen, även om det är en anti-Poisson-karta:

\{f_{1}\circ \iota ,f_{2}\circ \iota \}=-\{ f_{1},f_{2}\}\circ \iota

för två valfria funktioner $f_{1},f_{2}$ på $G$ .

Exempel

Triviala exempel

Vilken trivial Poisson-struktur som helst på en Lie-grupp $G$ definierar en Poisson-Lie-gruppstruktur, vars bialgebra helt enkelt är ${\mathfrak {g}}$ med trivial comultiplication.
Det dubbla ${\mathfrak {g}}^{*}$ i en Lie-algebra, tillsammans med dess linjära Poisson-struktur , är en additiv Poisson–Lie-grupp.

Dessa två exempel är dubbla av varandra via Drinfelds teorem, i den mening som förklaras ovan.

Andra exempel

Låt $G$ vara vilken halvenkel Lie-grupp som helst. Välj en maximal torus $T\subset G$ och ett urval av positiva rötter . Låt $B_{\pm }\subset G$ vara de motsvarande motsatta Borel-undergrupperna , så att $T=B_{-}\cap B_{+}$ och det finns en naturlig projektion $\pi :B_{\pm }\to T$ . Definiera sedan en Lie-grupp

G^{*}:=\{(g_{-},g_{+})\in B_{-}\times B_{+}\ { \bigl \vert }\ \pi (g_{-})\pi (g_{+})=1\}

som är en undergrupp av produkten ${\displaystyle B_{-}\times B_{+}} ,$ och har samma dimension som $G$ .

Standard Poisson–Lie-gruppstrukturen på $G$ bestäms genom att identifiera Lie-algebra för $G^{*}$ med dualen av Lie-algebra för $G$ , som i standard Lie bialgebra exempel. Detta definierar en Poisson-Lie-gruppstruktur på både $G$ och på den dubbla Poisson Lie-gruppen $G^{*}$ . Detta är "standardexemplet": Drinfeld-Jimbo kvantgruppen $U_{q}{\mathfrak {g}}$ är en kvantisering av Poisson-algebra av funktioner i gruppen $G ^{*}$ . Observera att $G^{*}$ är lösbar , medan $G$ är halvenkel.

Se även

Doebner, H.-D.; Hennig, J.-D., red. (1989). Kvantgrupper . Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-53503-9 .
Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew (1994). En guide till kvantgrupper . Cambridge: Cambridge University Press Ltd. ISBN 0-521-55884-0 .