Lie bialgebra

I matematik är en Lie-bialgebra det Lie-teoretiska fallet av en bialgebra : det är en mängd med en Lie-algebra och en Lie-koalgebra- struktur som är kompatibla.

Det är en bialgebra där multiplikationen är skevsymmetrisk och uppfyller en dubbel Jacobi-identitet , så att det dubbla vektorutrymmet är en Lie-algebra , medan comultiplicationen är en 1-samcykel, så att multiplikationen och comultiplicationen är kompatibla. Samcykelvillkoret innebär att man i praktiken endast studerar klasser av bialgebra som är samhomologa med en Lie bialgebra på en coboundary.

De kallas också Poisson-Hopf-algebror och är Lie-algebra för en Poisson-Lie-grupp .

Liebialgebras förekommer naturligt i studiet av Yang-Baxter-ekvationerna .

Definition

Ett vektorrum ${\mathfrak {g}}$ är en Lie-bialgebra om det är en Lie-algebra, och det finns strukturen för Lie-algebra även på det dubbla vektorutrymmet ${\mathfrak {g }}^{*}$ som är kompatibel. Mer exakt ges Lie-algebrastrukturen på ${\mathfrak {g}}$ av en Lie-parentes $[\ ,\ ]:{\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ och Lie-algebrastrukturen på ${\mathfrak {g}}^{*}$ ges av en Lie-parentes $\delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g }}^{*}$ . Då kallas kartan dual till ${\displaystyle \delta ^{*}} samkommutatorn,$ $\delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g} }\otimes {\mathfrak {g}}$ och kompatibilitetsvillkoret är följande samcykelrelation:

\delta ([X,Y ])=\left(\operatörsnamn {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatörsnamn {ad} _{ Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)

där $\operatörsnamn {ad} _{X}Y=[X,Y]$ är adjointen. Observera att denna definition är symmetrisk och ${\mathfrak {g}}^{*}$ är också en Lie-bialgebra, den dubbla Lie-bialgebra.

Exempel

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara valfri halvenkel Lie-algebra. För att specificera en Lie-bialgebrastruktur behöver vi alltså specificera en kompatibel Lie-algebrastruktur på det dubbla vektorutrymmet. Välj en kartansk subalgebra ${\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}$ och ett urval av positiva rötter. Låt ${\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}$ vara motsvarande motsatta Borel subalgebras, så att ${\displaystyle { \mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}} och det finns en naturlig$ projektion $\pi : {\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}$ . Definiera sedan en Lie-algebra

{\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{ -}\ gånger {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}

som är en subalgebra till produkten ${\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}$ och har samma dimension som ${\ displaystyle {\mathfrak {g}}}$ . Identifiera nu ${\mathfrak {g'}}$ med dual av ${\mathfrak {g}}$ via parningen

\langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+ }-X_{-},Y)

där $Y\in {\mathfrak {g}}$ och $K$ är Killing-formen. Detta definierar en Lie bialgebra-struktur på ${\mathfrak {g}}$ , och är "standardexemplet": det ligger till grund för Drinfeld-Jimbo kvantgruppen. Observera att ${\mathfrak {g'}}$ är lösbar, medan ${\mathfrak {g}}$ är halvenkel.

Relation till Poisson-Lie-grupper

Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ i en Poisson-Lie-grupp G har en naturlig struktur av Lie-bialgebra. I korthet ger Lie-gruppstrukturen Lie-parentesen på ${\mathfrak {g}}$ som vanligt, och lineariseringen av Poisson-strukturen på G ger Lie-parentesen på ${\mathfrak {g ^{*}}}$ (påminner om att en linjär Poisson-struktur på ett vektorrum är samma sak som en Lie-parentes på det dubbla vektorrummet). Mer detaljerat, låt G vara en Poisson-Lie-grupp, där $f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)$ är två smidiga funktioner på gruppgrenröret. Låt $\xi =(df)_{e}$ vara differentialen vid identitetselementet. Tydligen, $\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ . Poisson -strukturen på gruppen inducerar sedan en parentes på ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} ,$ som

[\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2 }\})_{e}\,

där $\{,\}$ är Poisson-parentesen . Givet $\eta$ vara Poisson-bivectorn på grenröret, definiera $\eta ^{R}$ att vara den högra översättningen av bivector till identitetselementet i G . Då har man det

\eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}

Samkommutatorn är då tangentkartan:

\delta =T_{e}\eta ^{R}\,

så att

[\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\ ibland \xi _{2})

är samkommutatorns dual.

Se även

H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari och Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Beisert, N.; Spill, F. (2009). "Den klassiska r-matrisen för AdS/CFT och dess Lie bialgebra-struktur". Kommunikationer i matematisk fysik . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Bibcode : 2009CMaPh.285..537B . doi : 10.1007/s00220-008-0578-2 .