Peakon

I teorin om integrerbara system är en peakon ("peaked soliton") en soliton med diskontinuerlig första derivata ; vågprofilen är formad som grafen för funktionen $e^{-|x|}$ . Några exempel på icke-linjära partiella differentialekvationer med (multi-)peakon-lösningar är Camassa–Holm grunt vatten vågekvationen, Degasperis –Procesi ekvationen och Fornberg–Whitham ekvationen . Eftersom peakon-lösningar endast är bitvis differentierbara måste de tolkas i en lämplig svag mening . Konceptet introducerades 1993 av Camassa och Holm i den korta men mycket citerade artikeln där de härledde sin grundvattenekvation.

En familj av ekvationer med peakon-lösningar

Det primära exemplet på en PDE som stöder peakon-lösningar är

$u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{ x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,$

där $u(x,t)$ är den okända funktionen och b är en parameter. I termer av hjälpfunktionen $m(x,t)$ definierad av relationen $m=u-u_{xx}$ tar ekvationen enklare form

$m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,$

Denna ekvation är integrerbar för exakt två värden av b , nämligen b = 2 ( Camassa–Holm-ekvationen ) och b = 3 ( Degasperis–Procesi-ekvationen ).

Den enda peakon-lösningen

PDE ovan tillåter den vandringsvåglösningen ${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}} ,$ som är en toppad ensam våg med amplitud c och hastighet c . Denna lösning kallas en (enkel) peakon-lösning, eller helt enkelt en peakon . Om c är negativ, rör sig vågen till vänster med toppen pekande nedåt, och då kallas det ibland en antipeakon .

Det är inte direkt uppenbart i vilken mening peakon-lösningen tillfredsställer PDE. Eftersom derivatan u _x har en hoppdiskontinuitet vid toppen, måste andraderivatan u _xx tas i betydelsen distributioner och kommer att innehålla en Dirac deltafunktion ; faktiskt, $m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)$ . Nu verkar produkten $mu_{x}$ som förekommer i PDE:n vara odefinierad, eftersom distributionen m stöds i den punkt där derivatan u _x är odefinierad. En ad hoc- tolkning är att ta värdet på u _x vid den punkten för att vara lika med genomsnittet av dess vänstra och högra gränser (noll, i det här fallet). Ett mer tillfredsställande sätt att förstå lösningen är att invertera förhållandet mellan u och m genom att skriva $m=(G/2)*u$ , där $G(x)=\exp(-|x|)$ och använd detta för att skriva om PDE som en (icke-lokal) hyperbolisk bevarandelag :

$\partial _{t}u+\partial _{x} \left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.$

(Stjärnan betecknar faltning med avseende på x .) I denna formulering kan funktionen u enkelt tolkas som en svag lösning i vanlig mening.

Multipeakon-lösningar

Två-peakon-vågprofil (heldragen kurva) bildad genom att addera två peakoner (streckade kurvor): $u=m_{1}\,e^{-|x-x_{1}|}+m_{2}\,e^{-|x-x_{2}|}$

Multipeakon-lösningar bildas genom att ta en linjär kombination av flera peakoner, var och en med sin egen tidsberoende amplitud och position. (Detta är en mycket enkel struktur jämfört med multisolitonlösningarna för de flesta andra integrerbara PDE:er, som Korteweg–de Vries-ekvationen till exempel.) n -peakon-lösningen tar alltså formen

$u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},$

där de 2 n funktionerna $x_{i}(t)$ och $m_{i}(t)$ måste väljas på lämpligt sätt för att u ska uppfylla PDE:n . För " b -familjen" ovan visar det sig att denna ansatz verkligen ger en lösning, förutsatt att systemet med ODEs

${\dot {x}}_{k}=\summa _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}- x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\summa _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatörsnamn {sgn }(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)$

är nöjd. (Här betecknar sgn teckenfunktionen .) Observera att den högra sidan av ekvationen för $x_{k}$ erhålls genom att ersätta $x=x_{k}$ i formel för u . På liknande sätt kan ekvationen för ${\displaystyle m_{k}} uttryckas i termer av$$u_{x}$ , om man tolkar derivatan av $\ exp(-|x|)$ vid x = 0 som noll. Detta ger följande bekväma förkortning för systemet:

${\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x }(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).$

Den första ekvationen ger en användbar intuition om peakondynamik: hastigheten för varje peakon är lika med höjden av vågen vid den punkten.

Explicita lösningsformler

I de integrerbara fallen b = 2 och b = 3, kan systemet av ODEs som beskriver toppdynamiken lösas explicit för godtyckliga n i termer av elementära funktioner, med användning av inversa spektraltekniker. Till exempel, lösningen för n = 3 i Camassa–Holm-fallet b = 2 ges av

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\ frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2 }(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _ {j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\ lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_ {2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{ 2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\ summa _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\ m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{ 3}^{2}a_{3}\höger)\summa _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{ \left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\summa _{j<k}\lambda _{ j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\ frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3} }}\end{aligned}}$

där ${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}} , och$ där de 2 n konstanterna $a_{k}(0)$ och $\lambda _{k}$ bestäms från initiala villkor. Den allmänna lösningen för godtycklig n kan uttryckas i termer av symmetriska funktioner av $a_{k}$ och $\lambda _{k}$ . Den allmänna n -peakon-lösningen i Degasperis–Procesi-fallet b = 3 är likartad i smak, även om den detaljerade strukturen är mer komplicerad.

Anteckningar

• Beals, Richard; Sattinger, David H.; Szmigielski, Jacek (2000), "Multipeakons and the classical moment problem", Advances in Mathematics , vol. 154, nr. 2, s. 229–257, arXiv : solv-int/9906001 , doi : 10.1006/aima.1999.1883
• Camassa, Roberto; Holm, Darryl D. (1993), "An integrable grunt water equation with peaked solitons", Physical Review Letters , vol. 71, nr. 11, s. 1661–1664, arXiv : patt-sol/9305002 , Bibcode : 1993PhRvL..71.1661C , doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661 , 82ID  10054466, S2CID 8832709
• Constantin, Adrian; McKean, Henry P. (1999), "A grunt water equation on the circle", Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 52, nr. 8, s. 949–982, doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(199908)52:8<949::AID-CPA3>3.0.CO;2-D
• Degasperis, Antonio; Holm, Darryl D.; Hone, Andrew NW (2002), "En ny integrerbar ekvation med peakon-lösningar", Theoretical and Mathematical Physics, vol. 133, nr. 2, s. 1463–1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023/A:1021186408422
• Lundmark, Hans; Szmigielski, Jacek (2005), "Degasperis–Procesi peakons and the discrete cubic string", International Mathematics Research Papers , vol. 2005, nr. 2, s. 53–116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155/IMRP.2005.53