Degasperis–Procesi ekvation

I matematisk fysik , Degasperis–Procesi ekvationen

\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{ x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}

är en av endast två exakt lösbara ekvationer i följande familj av tredje ordningens , icke-linjära, dispersiva PDE:er :

\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+ 2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},

där $\kappa$ och b är reella parametrar ( b =3 för Degasperis–Procesi-ekvationen). Den upptäcktes av Degasperis och Procesi i ett sökande efter integrerbara ekvationer som till formen liknar Camassa–Holm-ekvationen , som är den andra integrerbara ekvationen i denna familj (motsvarande b =2); att dessa två ekvationer är de enda integrerbara fallen har verifierats med en mängd olika integrerbarhetstester. Även om den upptäckts enbart på grund av dess matematiska egenskaper, har Degasperis–Procesi-ekvationen (med $\kappa >0$ ) senare visat sig spela en liknande roll i vattenvågsteorin som Camassa–Holm-ekvationen.

Soliton lösningar

Bland lösningarna i Degasperis–Procesi-ekvationen (i specialfallet $\kappa =0$ ) finns de så kallade multipeakon -lösningarna, som är funktioner av formen

\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}

där funktionerna $m_{i}$ och $x_{i}$ uppfyller

{\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatörsnamn {sgn} {(x_{i}-x_{j} )}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.

Dessa ODEs kan lösas explicit i termer av elementära funktioner, med inversa spektralmetoder .

När $\displaystyle \kappa >0} är$ { solitonlösningarna i Degasperis–Procesi-ekvationen jämna; de konvergerar till peakons i limiten eftersom $\kappa$ tenderar mot noll.

Diskontinuerliga lösningar

Degasperis–Procesi-ekvationen (med $\kappa =0$ ) är formellt ekvivalent med den (icke-lokala) hyperboliska bevarandelagen

\partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}} {2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,

där ${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)} ,$ och där stjärnan anger faltning med avseende på x . I denna formulering tillåter den svaga lösningar med en mycket låg grad av regelbundenhet, även diskontinuerliga sådana ( chockvågor) . Däremot innehåller motsvarande formulering av Camassa–Holms ekvation en faltning som involverar både $u^{2}$ och $u_{x}^{2}$ , vilket bara är vettigt om u ligger i Sobolev-utrymmet $H^{1}=W^{1,2}$ med avseende på x . Med Sobolevs inbäddningssats betyder detta i synnerhet att de svaga lösningarna i Camassa–Holms ekvation måste vara kontinuerliga med avseende på x .

Anteckningar

Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl (2006), "On the well-posedness of the Degasperis–Procesi-equation", J. Funct. Anal. vol. 233, nr. 1, s. 60–91, doi : 10.1016/j.jfa.2005.07.008 , hdl : 10852/10570 , S2CID 13339336
Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl (2007), "Om det unika med diskontinuerliga lösningar till Degasperis–Procesi-ekvationen" ( PDF) , J. Differential Equations , vol. 234, nr. 1, s. 142–160, Bibcode : 2007JDE...234..142C , doi : 10.1016/j.jde.2006.11.008 ^{[ permanent död länk ]}
Constantin, Adrian; Lannes, David (2007), "The hydrodynamical relevance of the Camassa–Holm and Degasperis–Procesi equations", Archive for Rational Mechanics and Analysis , 192 ( 1): 165–186, arXiv : 0709.0905 , Bibcode : 2009Ar.RMA. 165C , doi : 10.1007/s00205-008-0128-2 , S2CID 17294466
Degasperis, Antonio; Holm, Darryl D.; Hone, Andrew NW (2002), "En ny integrerbar ekvation med peakon-lösningar", Teoret. Och matte. Phys. vol. 133, nr. 2, s. 1463–1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023/A:1021186408422 , S2CID 121862973
Degasperis, Antonio; Procesi, Michela (1999), "Asymptotic integrability" , i Degasperis, Antonio; Gaeta, Giuseppe (red.), Symmetry and Perturbation Theory (Rom, 1998) , River Edge, NJ: World Scientific, s. 23–37
Dullin, Holger R.; Gottwald, Georg A.; Holm, Darryl D. (2004), "Om asymptotiskt ekvivalenta vågekvationer för grunt vatten", Physica D , vol. 190, nr. 1–2, s. 1–14, arXiv : nlin.PS/0307011 , Bibcode : 2004PhyD..190 ....1D , doi : 10.1016/j.physd.2003.11.004 , S2000064161
Escher, Joachim; Liu, Yue; Yin, Zhaoyang (2007), "Chockvågor och uppblåsningsfenomen för den periodiska Degasperis–Procesi-ekvationen", Indiana Univ. Matematik. J. , vol. 56, nr. 1, s. 87–117, doi : 10.1512/iumj.2007.56.3040
Hone, Andrew NW; Wang, Jing Ping (2003), "Prolongation algebras and Hamiltonian operators for peakon equations", Inverse Problems , vol. 19, nr. 1, s. 129–145, Bibcode : 2003InvPr..19..129H , doi : 10.1088/0266-5611/19/1/307 , S2CID 250876439
Ivanov, Rossen (2005), "Om integrerbarheten av en klass av icke-linjära dispersiva vågekvationer", J. Nonlin. Matematik. Phys. vol. 12, nr. 4, s. 462–468, arXiv : nlin/0606046 , Bibcode : 2005JNMP...12..462R , doi : 10.2991/jnmp.2005.12.4.2 , S2CID 12848
Ivanov, Rossen (2007), "Vattenvågor och integrerbarhet", Fil. Trans. R. Soc. A , vol. 365, nr. 1858, s. 2267–2280, arXiv : 0707.1839 , Bibcode : 2007RSPTA.365.2267I , doi : 10.1098/rsta.2007.2007 , S02ID 621, 82ID 621 , 82ID 621 ,
Johnson, Robin S. (2003), "Det klassiska problemet med vattenvågor: en reservoar av integrerbara och nästan integrerbara ekvationer", J. Nonlin. Matematik. Phys. vol. 10, nr. Tillägg 1, s. 72–92, Bibcode : 2003JNMP...10S..72J , doi : 10.2991/jnmp.2003.10.s1.6
Lundmark, Hans (2007), "Formation and dynamics of shock waves in the Degasperis–Procesi-equation" , J. Nonlinear Sci. vol. 17, nr. 3, s. 169–198, Bibcode : 2007JNS....17..169L , doi : 10.1007/s00332-006-0803-3 , S2CID 28451735
Lundmark, Hans; Szmigielski, Jacek (2003), "Multi-peakon solutions of the Degasperis-Procesi equation", Inverse Problems , vol. 19, nr. 6, s. 1241–1245, arXiv : nlin.SI/0503033 , Bibcode : 2003InvPr..19.1241L , doi : 10.1088 / 0266-5611/19/6/001 89 S001 89
Lundmark, Hans; Szmigielski, Jacek (2005), "Degasperis–Procesi peakons and the discrete cubic string", Internat. Matematik. Res. Papers , vol. 2005, nr. 2, s. 53–116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155/IMRP.2005.53
Matsuno, Yoshimasa (2005a), "Multisoliton-lösningar av Degasperis-Procesi-ekvationen och deras peakon-gräns", Inverse Problems , vol. 21, nr. 5, s. 1553–1570, arXiv : nlin/0511029 , Bibcode : 2005InvPr..21.1553M , doi : 10.1088/ 0266-5611 /21/5/004 1028CID 1202CID 1202CID
Matsuno, Yoshimasa (2005b), " N -solitonlösningen av Degasperis–Procesi-ekvationen", Inverse Problems , vol. 21, nr. 6, s. 2085–2101, arXiv : nlin.SI/0511029 , Bibcode : 2005InvPr..21.2085M , doi : 10.1088/0266-5611/21/6/018
Mikhailov, Alexander V.; Novikov, Vladimir S. (2002), "Perturbative symmetry approach", J. Phys. A: Matematik. Gen. , vol. 35, nr. 22, s. 4775–4790, arXiv : nlin.SI/0203055v1 , Bibcode : 2002JPhA...35.4775M , doi : 10.1088/0305-4470/35/22/725ID 9 , S
Liao, SJ (2013), "Do peaked solitary water waves indeed exist?", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 19 (6): 1792–1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode : 2014CNS 79 do .10 : 19.19 . /j.cnsns.2013.09.042 , S2CID 119203215

Vidare läsning

Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl; Risebro, Nils Henrik (2008), "Numerical schemes for computing discontinuous solutions of the Degasperis–Procesi equation", IMA J. Numer. Anal. vol. 28, nr. 1, s. 80–105, CiteSeerX 10.1.1.230.4799 , doi : 10.1093/imanum/drm003
Escher, Joachim (2007), "Vågbrytning och stötvågor för en periodisk grundvattenekvation", Phil. Trans. R. Soc. A , vol. 365, nr. 1858, s. 2281–2289, Bibcode : 2007RSPTA.365.2281E , doi : 10.1098/rsta.2007.2008 , PMID 17360268 , S2CID 1682426
Escher, Joachim; Liu, Yue; Yin, Zhaoyang (2006), "Globala svaga lösningar och uppblåsningsstruktur för Degasperis–Procesi-ekvationen", J. Funct. Anal. vol. 241, nr. 2, s. 457–485, doi : 10.1016/j.jfa.2006.03.022
Escher, Joachim; Yin, Zhaoyang (2007), "Om de initiala gränsvärdesproblemen för Degasperis–Procesi-ekvationen", Phys. Lett. A , vol. 368, nr. 1–2, s. 69–76, Bibcode : 2007PhLA..368...69E , doi : 10.1016/j.physleta.2007.03.073
Guha, Parta (2007), "Euler-Poincaré formalism av (tvåkomponent) Degasperis-Procesi och Holm-Staley typ system", J. Nonlin. Matematik. Phys. vol. 14, nr. 3, s. 390–421, Bibcode : 2007JNMP...14..390G , doi : 10.2991/jnmp.2007.14.3.8 , S2CID 55474222
Henry, David (2005), "Oändlig fortplantningshastighet för Degasperis–Procesi-ekvationen", J. Math. Anal. Appl. vol. 311, nr. 2, s. 755–759, Bibcode : 2005JMAA..311..755H , doi : 10.1016/j.jmaa.2005.03.001
Hoel, Håkon A. (2007), "Ett numeriskt schema som använder multi-shockpeakons för att beräkna lösningar av Degasperis–Procesi-ekvationen" ( PDF) , Electron. J. Differential Equations , vol. 2007, nr. 100, s. 1–22
Lenells, Jonatan (2005), "Resande våglösningar av Degasperis–Procesi-ekvationen", J. Math. Anal. Appl. vol. 306, nr. 1, s. 72–82, Bibcode : 2005JMAA..306...72L , doi : 10.1016/j.jmaa.2004.11.038
Lin, Zhiwu; Liu, Yue (2008), "Stabilitet av peakons för Degasperis–Procesi-ekvationen", Comm. Ren appl. Matematik. vol. 62, nr. 1, s. 125–146, arXiv : 0712.2007 , doi : 10.1002/cpa.20239 , S2CID 7906607
Liu, Yue; Yin, Zhaoyang (2006), "Global existens och explosionsfenomen för Degasperis–Procesi-ekvationen", Comm . Matematik. Phys. vol. 267, nr. 3, s. 801–820, Bibcode : 2006CMaPh.267..801L , doi : 10.1007/s00220-006-0082-5 , S2CID 121322682 , arkiverad från originalet på 101-106
Liu, Yue; Yin, Zhaoyang (2007), "Om uppblåsningsfenomenet för Degasperis–Procesi-ekvationen", Internat. Matematik. Res. Notices , vol. 2007, doi : 10.1093/imrn/rnm117
Mustafa, Octavian G. (2005), "En anteckning om Degasperis–Procesi-ekvationen", J. Nonlin. Matematik. Phys. vol. 12, nr. 1, s. 10–14, Bibcode : 2005JNMP...12...10M , CiteSeerX 10.1.1.532.782 , doi : 10.2991/jnmp.2005.12.1.2 , S2CID 3534899
Vakhnenko, Vyacheslav O.; Parkes, E. John (2004), "Periodic and solitary-wave solutions of the Degasperis-Procesi-equation" (PDF) , Chaos, Solitons and Fractals , vol. 20, nej. 5, s. 1059–1073, Bibcode : 2004CSF....20.1059V , doi : 10.1016/j.chaos.2003.09.043 , arkiverad från originalet (PDF) 2006-09-25
Yin, Zhaoyang (2003a), "Global existens för en ny periodisk integrerbar ekvation", J. Math. Anal. Appl. vol. 283, nr. 1, s. 129–139, doi : 10.1016/S0022-247X(03)00250-6
Yin, Zhaoyang (2003b), "Om Cauchy-problemet för en integrerbar ekvation med peakon-lösningar", Illinois J. Math. vol. 47, nr. 3, s. 649–666, arkiverad från originalet den 12 december 2012
Yin, Zhaoyang (2004a), "Globala lösningar till en ny integrerbar ekvation med peakons", Indiana Univ. Matematik. J. , vol. 53, nr. 4, s. 1189–1209, doi : 10.1512/iumj.2004.53.2479
Yin, Zhaoyang (2004b), "Globala svaga lösningar för en ny periodisk integrerbar ekvation med peakonlösningar", J. Funct. Anal. vol. 212, nr. 1, s. 182–194, doi : 10.1016/j.jfa.2003.07.010