Whithams ekvation

I matematisk fysik är Whitham-ekvationen en icke-lokal modell för icke-linjära dispersiva vågor .

Ekvationen noteras enligt följande:

${\ visningsstil {\frac \partial t}}+\alpha \eta {\frac {\partial \eta }{\partial x}}+\int _{-\infty }^{+\infty }K(x-\xi )\,{ \frac {\partial \eta (\xi ,t)}{\partial \xi }}\,{\text{d}}\xi =0.}$

Denna integro-differentialekvation för den oscillerande variabeln η ( x , t ) är uppkallad efter Gerald Whitham som introducerade den som en modell för att studera brytning av icke-linjära dispersiva vattenvågor 1967. Vågbrytning – avgränsade lösningar med obundna derivator – för Whitham-ekvationen har nyligen bevisats.

För ett visst val av kärnan K ( x − ξ ) blir det Fornberg–Whitham-ekvationen .

Vattenvågor

Med hjälp av Fouriertransformen (och dess invers), med avseende på rymdkoordinaten x och i termer av vågnumret k :

• \ För ytgravitationsvågor tas fashastigheten c (k) som en funktion av vågnumret k som: c ww ( k ) =

   $text{ww}}(k )={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\tanh(kh)}},}$ medan $\sqrt {\frac {g}{h}}},$

$\alpha _{\text{ww}}= {\frac {3}{2}$

{ } med g gravitationsaccelerationen och h medelvattendjupet . Den associerade kärnan K _ww ( s ) är, med användning av den inversa Fouriertransformen:

$K_{\text{ww}}(s)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^ {+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,{\text{e}}^{iks}\,{\text{d}}k={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,\cos(ks)\,{\text{d}}k,$

eftersom c _ww är en jämn funktion av vågnumret k .

• Korteweg –de Vries-ekvationen (KdV-ekvationen) uppstår när man behåller de två första termerna av en serieexpansion av c _ww ( k ) för långa vågor med kh ≪ 1 :

    $c_{\text{kdv}}(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2 }\right),$$K_{\text{kdv}}(s)={\sqrt {gh}}\left(\delta (s)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime}(s)\right),$$\alpha _{\text{kdv}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}},$

med δ ( s ) Dirac delta-funktionen .

• Bengt Fornberg och Gerald Whitham studerade kärnan K _fw ( s ) – icke-dimensionaliserad med hjälp av g och h :

      $K_{\text{fw}}(s)={\frac {1}{2}}\nu {\text{e}}^{-\nu |s|}$ och $c_{\text{fw}}={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}},$ med $\alpha _{\text{fw}}={\frac {3}{2}}.$

Den resulterande integro-differentialekvationen kan reduceras till den partiella differentialekvationen känd som Fornberg–Whitham-ekvationen :

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\höger)\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {3}{2}}\,\eta \,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0.} Denna ekvation visas för att möjliggöra peakon$

- lösningar – som modell för vågor med begränsande höjd – såväl som förekomsten av vågbrott ( chockvågor , frånvarande i t.ex. lösningar av Korteweg–de Vries-ekvationen).

Anteckningar och referenser

Referenser

•   Debnath, L. (2005), Icke-linjära partiella differentialekvationer för forskare och ingenjörer , Springer, ISBN 9780817643232
• Fetecau, R.; Levy, Doron (2005), "Approximate Model Equations for Water Waves", Communications in Mathematical Sciences , 3 (2): 159–170, doi : 10.4310/CMS.2005.v3.n2.a4
•    Fornberg, B.; Whitham, GB (1978), "A Numerical and Theoretical Study of Certain Nolinear Wave Phenomena", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 289 ( 1361): 373–404, Bibcode : 1978RSPTA.289..373F . 16.Seer . .6331 , doi : 10.1098/rsta.1978.0064 , S2CID 7333207
• ) , "Wave breaking in the Whitham equation", Advances in Mathematics , 317 : 410–437, arXiv : 1506.04075 , doi : 10.1016 /j.aim.2017.07.6 1920ID  
•   Moldabayev, D.; Kalisch, H.; Dutykh, D. (2015), "The Whitham Equation as a model for surface water waves", Physica D: Nolinear Phenomena , 309 : 99–107, arXiv : 1410.8299 , Bibcode : 2015PhyD..309 do...99 : M , 10.1016/j.physd.2015.07.010 , S2CID 55302388
•   Naumkin, PI; Shishmarev, IA (1994), Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of Waves , American Mathematical Society, ISBN 9780821845738
•   Whitham, GB (1967), "Variational methods and applications to water waves", Proceedings of the Royal Society A , 299 (1456): 6–25, Bibcode : 1967RSPSA.299....6W , doi : 10.1098/rspa. 1967.0119 , S2CID 122802187
•   Whitham, GB (1974), Linjära och icke-linjära vågor , Wiley-Interscience, doi : 10.1002/9781118032954 , ISBN 978-0-471-94090-6