Pandiagonal magisk kvadrat

En pandiagonal magisk kvadrat eller panmagisk kvadrat (även diabolisk kvadrat , diabolisk kvadrat eller diabolisk magisk kvadrat ) är en magisk kvadrat med den ytterligare egenskapen att de brutna diagonalerna , dvs diagonalerna som sveper sig runt i kvadratens kanter, också summerar till magisk konstant .

En pandiagonal magisk fyrkant förblir pandiagonal magi inte bara under rotation eller reflektion , utan också om en rad eller kolumn flyttas från en sida av kvadraten till den motsatta sidan. Som sådan kan en $n\times n$ pandiagonal magisk kvadrat anses ha $8n^{2}$ orientering.

3×3 pandiagonala magiska rutor

Det kan visas att icke-triviala pandiagonala magiska rutor av ordning 3 inte existerar. Antag torget

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11} \!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\; a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\! \!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}$

är pandiagonalt magi med magisk konstant $s$ . Lägga till summor $a_{11}+a_{22}+a_{33},$$a_{12}+a_{22 }+a_{32},$ och $a_{13}+a_{22}+a_{31}$ resulterar i $3s$ . Subtrahera $a_{11}+a_{12}+a_{13}$ och $a_{31}+a_{32}+ a_{33},$ får vi $3a_{22}=s$ . Men om vi flyttar den tredje kolumnen framför och utför samma argument får vi $3a_{22}=s$ . Faktum är att med symmetrierna för 3 × 3 magiska kvadrater måste alla celler vara lika med ${\tfrac {1}{3}}s$ . Därför måste alla 3 × 3 pandiagonala magiska rutor vara triviala.

Men om konceptet med magiska kvadrater generaliseras till att inkludera geometriska former istället för siffror – de geometriska magiska kvadraterna upptäckta av Lee Sallows – existerar en 3 × 3 pandiagonal magisk kvadrat.

4×4 pandiagonala magiska rutor

Euler-diagram över krav för vissa typer av 4 × 4 magiska rutor. Celler av samma färg summerar till den magiska konstanten.

De minsta icke-triviala pandiagonala magiska kvadraterna är 4 × 4 rutor. Alla 4 × 4 pandiagonala magiska rutor måste vara translationssymmetriska med formen

a	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	a + c + e
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

Eftersom varje 2 × 2 delkvadrat summerar till den magiska konstanten, är 4 × 4 pandiagonala magiska rutor mest perfekta magiska rutor . Dessutom summerar de två siffrorna i de motsatta hörnen av valfri 3 × 3 kvadrat till hälften av den magiska konstanten. Följaktligen måste alla 4 × 4 pandiagonala magiska rutor som är associativa ha dubbletter av celler.

Alla 4 × 4 pandiagonala magiska rutor som använder siffrorna 1-16 utan dubbletter erhålls genom att låta lika 1; låta b , c , d och e vara lika med 1, 2, 4 och 8 i någon ordning; och tillämpa lite översättning . Till exempel, med b = 1 , c = 2 , d = 4 och e = 8 , har vi den magiska kvadraten

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

Antalet 4 × 4 pandiagonala magiska rutor som använder siffrorna 1-16 utan dubbletter är 384 (16 gånger 24, där 16 står för översättningen och 24 står för de 4 sätten att tilldela 1, 2, 4 och 8 till b , c , d och e ).

5×5 pandiagonala magiska rutor

Det finns många 5 × 5 pandiagonala magiska rutor. Till skillnad från 4 × 4 pandiagonala magiska rutor kan dessa vara associativa . Följande är en 5 × 5 associativ pandiagonal magisk fyrkant:

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Förutom raderna, kolumnerna och diagonalerna visar en 5 × 5 pandiagonal magisk kvadrat också sin magiska konstant i fyra " quincunx "-mönster, som i exemplet ovan är:

17+25+13+1+9 = 65 (mitten plus intilliggande rad- och kolumnrutor)

21+7+13+19+5 = 65 (mitten plus de återstående rad- och kolumnrutorna)

4+10+13+16+22 = 65 (mitten plus diagonalt intilliggande rutor)

20+2+13+24+6 = 65 (mitten plus de återstående kvadraterna på dess diagonaler)

Var och en av dessa quincunxes kan översättas till andra positioner i kvadraten genom cyklisk permutation av raderna och kolumnerna (som lindas runt), vilket i en pandiagonal magisk kvadrat inte påverkar de magiska konstanternas likhet. Detta leder till 100 quincunx summor, inklusive brutna quincunxes analogt med brutna diagonaler.

Quincunx-summorna kan bevisas genom att ta linjära kombinationer av rad-, kolumn- och diagonalsummor. Tänk på den pandiagonala magiska torget

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12 }\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\! \\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\! \!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\! \!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\! \!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\! \!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\! \;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54 }\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}$

med magisk konstant s . För att bevisa quincunx-summan $a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s$ (motsvarande exemplet 20+2+13+24+6 = 65 ovan), kan vi addera följande:

3 gånger var och en av diagonalerna summerar $a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}$ och ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}} ,$ Diagonalen

summerar $a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}$ , $a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}$ , $a_ {14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}$ och $a_{15}+a_{ 21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}$ ,

Raden summerar $a_{11}+a_{12}+a_ {13}+a_{14}+a_{15}$ och $a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54 }+a_{55}$ .

Från denna summa, subtrahera följande:

Raden summerar $a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}$ och $a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}$ ,

Kolumnsumman $a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}$ ,

Två gånger vardera av kolumnen summerar $a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}$ och ${\ displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$ .

Nettoresultatet är $5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_ {55}=5s$ , som dividerat med 5 ger quincunx-summan. Liknande linjära kombinationer kan konstrueras för de andra quincunx-mönstren $a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{ 43}$ , $a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}$ och $a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}$ .

(4 n +2)×(4 n +2) pandiagonala magiska rutor med icke på varandra följande element

Ingen pandiagonal magisk kvadrat existerar av ordningen $4n+2$ om konsekutiva heltal används. Men vissa sekvenser av icke-konsekutiva heltal medger ordning-( $4n+2$ ) pandiagonala magiska rutor.

Betrakta summan 1+2+3+5+6+7 = 24. Denna summa kan delas på hälften genom att ta lämpliga grupper med tre tillägg, eller i tredjedelar genom att använda grupper med två tillägg:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

En ytterligare lika uppdelning av summan av kvadrater garanterar den semi-bimagiska egenskapen som anges nedan:

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 2 + 3 ² + 7 ² = ⁶²

Observera att den på varandra följande heltalssumman 1+2+3+4+5+6 = 21, en udda summa, saknar halvpartitionering.

Med båda lika partitioner tillgängliga kan siffrorna 1, 2, 3, 5, 6, 7 ordnas i 6 × 6 pandigonala mönster A respektive B , givet av:

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

Sedan ger $7A+B-7C$ (där C är den magiska kvadraten med 1 för alla celler) den icke-konsekutiva pandiagonala kvadraten 6 × 6:

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

med ett maximalt element på 49 och en pandiagonal magisk konstant på 150. Denna kvadrat är pandiagonal och semi-bimagisk, det betyder att rader, kolumner, huvuddiagonaler och brutna diagonaler har summan 150 och, om vi kvadrerar alla siffror i kvadrat, bara raderna och kolumnerna är magiska och har en summa av 5150.

För 10:e ordningen är en liknande konstruktion möjlig med de lika partitioneringarna av summan 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35 1

+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (lika partitionering av kvadrater; semi-bimagisk egenskap)

Detta leder till att rutor har ett maximalt element på 169 och en pandiagonal magisk konstant på 850, som också är semi-bimagiska med varje rad eller kolumns summa av kvadrater lika med 102 850.

(6 n ±1)×(6 n ±1) pandiagonala magiska rutor

En $(6n\pm 1)\times (6n\pm 1)$ pandiagonal magisk kvadrat kan byggas med följande algoritm.

1. Ställ in den första kolumnen i kvadraten med de första $6n\pm 1$ naturliga talen .

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

2. Kopiera den första kolumnen till den andra kolumnen men flytta den ringvis med 2 rader.

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5

3. Fortsätt att kopiera den aktuella kolumnen till nästa kolumn med ringvis förskjutning med 2 rader tills kvadraten är helt fylld.

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2

4. Bygg en andra ruta och kopiera transponeringen av den första kvadraten till den.

   A 1 6 4 2 7 5 3 2 7 5 3 1 6 4 3 1 6 4 2 7 5 4 2 7 5 3 1 6 5 3 1 6 4 2 7 6 4 2 7 5 3 1 7 5 3 1 6 4 2

   $A^{T}$ 1 2 3 4 5 6 7 6 7 1 2 3 4 5 4 5 6 7 1 2 3 2 3 4 5 6 7 1 7 1 2 3 4 5 6 5 6 7 1 2 3 4 3 4 5 6 7 1 2

5. Bygg den sista kvadraten genom att multiplicera den andra kvadraten med ${\displaystyle 6n\pm 1} ,$ addera den första kvadraten och subtrahera $6n\pm 1$ i varje cell i kvadraten.

   Exempel: ${\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B} ,$ där B är magin kvadrat med alla celler som 1.

   1	13	18	23	35	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41	46	2	14	19
   11	16	28	33	38	43	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44	7	12	17	22
   21	26	31	36	48	4	9

4 n × 4 n pandiagonala magiska rutor

En $4n\times 4n$ pandiagonal magisk kvadrat kan byggas med följande algoritm.

1. Lägg de första $2n$ naturliga talen i den första raden och de första $2n$ kolumnerna i kvadraten.

   1	2	3	4

2. Lägg de nästa $2n$ naturliga talen under de första $2n$ naturliga talen omvänt. Varje vertikalt par måste ha samma summa.

   1	2	3	4
   8	7	6	5

3. Kopiera den där $2\times 2n$ rektangeln $2n-1$ gånger under den första rektangeln.

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5

4. Kopiera den vänstra $4n\times 2n$ rektangeln till den högra $4n\times 2n$ rektangeln men flytta den ringvis med en rad.

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4

5. Bygg en andra $4n\times 4n$ kvadrat och kopiera den första kvadraten till den men vrid den 90°.

   A 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4

   B 5 4 5 4 5 4 5 4 6 3 6 3 6 3 6 3 7 2 7 2 7 2 7 2 8 1 8 1 8 1 8 1 4 5 4 5 4 5 4 5 3 6 3 6 3 6 3 6 2 7 2 7 2 7 2 7 1 8 1 8 1 8 1 8

6. Bygg den sista kvadraten genom att multiplicera den andra kvadraten med ${\displaystyle 4n} ,$ addera den första kvadraten och subtrahera $4n$ i varje cell i kvadraten.

   Exempel: ${\displaystyle A+4nB-4nC} ,$ där C är den magiska kvadraten med alla celler som 1.

   33	26	35	28	40	31	38	29
   48	23	46	21	41	18	43	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

Om vi ​​bygger en $4n\times 4n$ pandiagonal magisk kvadrat med den här algoritmen så kommer varje $2\times 2$ kvadrat i $4n\times 4n$ kvadrat kommer att ha samma summa. Därför har många symmetriska mönster av $4n$ celler samma summa som vilken rad och vilken kolumn som helst av kvadraten på ${\displaystyle 4n\times 4n} .$ Speciellt varje $2n\times 2$ och varje $2\times 2n$ rektangel kommer att ha samma summa som vilken rad och vilken kolumn som helst i $4n\ gånger 4n$ kvadrat. 4 $4n}$ kvadraten är också en mest perfekt magisk kvadrat .

(6 n +3)×(6 n +3) pandiagonala magiska rutor

En $(6n+3)\times (6n+3)$ pandiagonal magisk kvadrat kan byggas med följande algoritm.

1. Skapa en $(2n+1)\x 3$ rektangel med de första $6n+3$ naturliga talen så att varje kolumn har samma summa. Du kan göra detta genom att börja med en 3 × 3 magisk kvadrat och ställa in resten av rektangelns celler i meander -stil. Du kan också använda mönstret som visas i följande exempel.

   För 9 × 9 kvadrat 1 2 3 5 6 4 9 7 8 vertikal summa = 15

   För 15 × 15 kvadrat 1 2 3 5 6 4 9 7 8 10 11 12 15 14 13 vertikal summa = 40

   För 21 × 21 kvadrat 1 2 3 5 6 4 9 7 8 10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 20 19 vertikal summa = 77

2. Placera denna rektangel i det övre vänstra hörnet av $(6n+3)\times (6n+3)$ kvadraten och två kopior av rektangeln under den så att de första 3 kolumnerna på torget är helt fyllda.

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8

3. Kopiera de 3 vänstra kolumnerna till de kommande 3 kolumnerna, men flytta den ringvis med 1 rad.

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4

4. Fortsätt att kopiera de nuvarande 3 kolumnerna till de nästa 3 kolumnerna, förskjutna ringvis med 1 rad, tills kvadraten är helt fylld.

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3

5. Bygg en andra ruta och kopiera transponeringen av den första kvadraten till den.

   A 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3

   $A^{T}$ 1 5 9 1 5 9 1 5 9 2 6 7 2 6 7 2 6 7 3 4 8 3 4 8 3 4 8 9 1 5 9 1 5 9 1 5 7 2 6 7 2 6 7 2 6 8 3 4 8 3 4 8 3 4 5 9 1 5 9 1 5 9 1 6 7 2 6 7 2 6 7 2 4 8 3 4 8 3 4 8 3

6. Bygg den sista kvadraten genom att multiplicera den andra kvadraten med ${\displaystyle 6n+3} ,$ addera den första kvadraten och subtrahera $6n+3$ i varje cell i kvadraten.

   Exempel: ${\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B} ,$ där B är den magiska kvadraten med alla celler som 1.

   1	38	75	9	43	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81	7	44	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35	68	24	31	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26	32	69	22	28	65	21

• WS Andrews, Magic Squares and Cubes . New York: Dover, 1960. Ursprungligen tryckt 1917. Se särskilt kapitel X.

• Ollerenshaw, K., Brée, D.: Most-perfect pandiagonal magic squares. IMA, Southend-on-Sea (1998)

externa länkar

• Panmagic Square på MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares