Oreducerbart ideal
I matematik sägs ett riktigt ideal för en kommutativ ring vara irreducible om det inte kan skrivas som skärningspunkten mellan två strikt större ideal.
Exempel
- Varje främsta ideal är irreducerbart. Låt och vara ideal för en kommutativ ring där ingen av dem ingår i den andra. Sedan finns det och , där ingendera finns i men produkten är. Detta bevisar att ett reducerbart ideal inte är prime. Ett konkret exempel på detta är idealen och som finns i . Skärningen är , och är inte ett primideal.
- Varje irreducerbart ideal av en Noetherian ring är ett primärt ideal , och följaktligen för Noetherian ringar är en irreducerbar nedbrytning en primär nedbrytning .
- Varje primärideal för en principiell idealdomän är ett irreducerbart ideal.
- Varje oreducerbart ideal är primärt .
Egenskaper
Ett element i en integral domän är prime om och endast om idealet som genereras av det är ett icke-noll primideal. Detta är inte sant för irreducerbara ideal; ett irreducerbart ideal kan genereras av ett element som inte är ett irreducerbart element , vilket är fallet i för ideal eftersom det inte är skärningspunkten mellan två strikt större ideal.
En ideal I för en ring R kan vara irreducerbar endast om den algebraiska mängden den definierar är irreducerbar (det vill säga vilken öppen delmängd som helst är tät) för Zariski-topologin , eller ekvivalent om det slutna utrymmet av spec R som består av primideal som innehåller I är irreducerbar för den spektrala topologin . Det omvända håller inte; till exempel är idealet för polynom i två variabler med försvinnande termer av första och andra ordningen inte irreducerbart.
Om k är ett algebraiskt stängt fält , är att välja radikalen av ett irreducerbart ideal för en polynomring över k exakt samma sak som att välja en inbäddning av den affina variationen av dess Nullstelle i det affina utrymmet.
Se även