Nevanlinnas kriterium

Inom matematiken kännetecknar Nevanlinnas kriterium i komplex analys , bevisat 1920 av den finske matematikern Rolf Nevanlinna , holomorfa univalenta funktioner på enhetsskivan som är stjärnliknande . Nevanlinna använde detta kriterium för att bevisa Bieberbachs gissning för stjärnliknande univalenta funktioner.

Angivande av kriterium

En envärd funktion h på enhetsskivan som uppfyller h (0) = 0 och h' (0) = 1 är stjärnliknande, dvs har bildinvariant under multiplikation med reella tal i [0,1], om och endast om $zh^{\prime }(z)/h(z)$ har positiv reell del för | z | < 1 och tar värdet 1 vid 0.

Observera att, genom att tillämpa resultatet på a • h ( rz ), gäller kriteriet på vilken skiva som helst | z | < r med endast kravet att f (0) = 0 och f' (0) ≠ 0.

Bevis på kriteriet

Låt h ( z ) vara en stjärnliknande envärd funktion på | z | < 1 med h (0) = 0 och h' (0) = 1.

För t < 0, definiera

$f_{t}(z)=h^{-1}(e^{-t}h(z)),\ ,$

en semigrupp av holomorf mappinga av D i sig själv som fixerar 0.

Dessutom är h Koenigs-funktionen för halvgruppen f _t .

Av Schwarz lemma , | ft ₍ z ) | minskar när t ökar.

Därav

$\partial _{t}|f_{t}(z)|^{2}\leq 0.$

Men inställningen w = f _t ( z ),

$\partial _{t}|f_{t}(z)|^{2}= 2\Re \,{\overline {f_{t}(z)}}\partial _{t}f_{t}(z)=2\Re \,{\overline {w}}v(w),$

var

$v(w)=-{h(w) \over h^{\prime }(w)}.$

Därav

$\Re \,{\overline {w}}{h(w) \over h^{\prime }(w)}\geq 0.$

och så, dividera med | w | ² ,

$\Re \,{h(w) \over wh^{\prime }(w)}\geq 0.$

Att ta reciproka och låta t gå till 0 ger

$\Re \,z{h^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0$

för alla | z | < 1. Eftersom den vänstra sidan är en harmonisk funktion , innebär maximiprincipen att olikheten är strikt.

Omvänt om

$g(z)=z{h^{\prime }(z) \över h(z)}$

har en positiv reell del och g (0) = 1, då kan h försvinna endast vid 0, där den måste ha en enkel nolla.

Nu

$\partial _{\theta }\arg h(re^{i\theta})=\partial _{\theta}\Im \,\log h(z)=\Im \,\partial _{\ theta }\log h(z)=\Im \,{\partial z \over \partial \theta}\cdot \partial _{z}\log h(z)=\Re \,z{h^{\prime }(z) \över h(z)}.$

Allt eftersom z spårar cirkeln $z=re^{i\theta }$ , argumentet för bilden $h(re^{i\theta } )$ ökar strikt. Enligt argumentprincipen , eftersom $h$ har en enkel nolla vid 0, ringer den in origo bara en gång. Det inre av området som begränsas av kurvan den spårar är därför stjärnliknande. Om a är en punkt i det inre så är antalet lösningar N ( a ) av h(z) = a med | z | < r ges av

$N(a)={1 \over 2\pi i}\int _{|z|=r}{h^{\prime }(z) \over h(z)-a}\,dz.$

Eftersom detta är ett heltal, beror kontinuerligt på a och N (0) = 1, är det identiskt 1. Så h är univalent och stjärnliknande på varje skiva | z | < r och därmed överallt.

Applikation på Bieberbach-förmodan

Carathéodorys lemma

Constantin Carathéodory bevisade 1907 att if

$g(z)=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots .$

är en holomorf funktion på enhetsskivan D med positiv reell del, alltså

$|b_{n}|\leq 2.$

Det räcker faktiskt att visa resultatet med g ersatt av g _r (z) = g ( rz ) för valfri r < 1 och sedan övergå till gränsen r = 1. I så fall sträcker sig g till en kontinuerlig funktion på den stängda skivan med positiv reell del och med Schwarz formel

$g(z)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{e^{i\theta }+z \over e^{i\theta }-z} \Re g(e^{i\theta })\,d\theta .$

Använda identiteten

${e^{i\theta }+z \over e^{i\theta }-z }=1+2\summa _{n\geq 1}e^{-in\theta }z^{n},$

det följer att

$\int _{0}^{2\pi }\Re g(e^{i\theta })\,d\theta =1$ ,

så definierar ett sannolikhetsmått, och

$b_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-int}\Re g(e^{i\theta })\,d\theta .$

Därav

$|b_{n}|\leq 2\int _{0}^{2\pi }\Re g(e^{i\ theta })\,d\theta =2.$

Bevis för stjärnliknande funktioner

Låta

$f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots$

vara en univalent stjärnliknande funktion i | z | < 1. Nevanlinna (1921) bevisade det

$|a_{n}|\leq n.$

Faktiskt enligt Nevanlinnas kriterium

$g(z)=z{f^{\prime }(z) \över f (z)}=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots$

har positiv reell del för | z |<1. Alltså av Carathéodorys lemma

$|b_{n}|\leq 2.$

Å andra sidan

$zf^{\prime }(z)=g(z)f(z)$

ger återfallsrelationen

$(n-1)a_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}b_{nk}a_{k}.$

där a ₁ = 1. Alltså

$|a_{n}|\leq {2 \över n-1}\summa _{k=1}^{n-1}|a_{k}|,$

så det följer av induktion att

$|a_{n}|\leq n.$

Anteckningar

•   Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" , Math . Ann. , 64 : 95–115, doi : 10.1007/bf01449883 , S2CID 116695038
•   Duren, PL (1983), Univalent functions , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, s. 41–42, ISBN 0-387-90795-5
•   Hayman, WK (1994), Multivalent functions , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 110 (andra upplagan), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Finska Vet. Soc. För H. , 53 : 1–21
• Pommerenke, C. (1975), Univalenta funktioner, med ett kapitel om kvadratiska differentialer av Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht