Schwarz integralformel

I komplex analys , en gren av matematiken, tillåter Schwarz-integralformeln , uppkallad efter Hermann Schwarz , en att återställa en holomorf funktion , upp till en imaginär konstant, från gränsvärdena för dess reella del.

Enhetsskiva

Låt f vara en funktion holomorf på den slutna enhetsskivan { z ∈ C | | z | ≤ 1}. Sedan

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\ oint _{|\zeta |=1}{\frac {\zeta +z}{\zeta -z}}\operatörsnamn {Re} (f(\zeta ))\,{\frac {d\zeta }{\ zeta }}+i\operatörsnamn {Im} (f(0))$

för alla | z | < 1.

Övre halvplan

  Låt f vara en funktion holomorf på det slutna övre halvplanet { z ∈ C | Im( z ) ≥ 0} så att, för vissa α > 0, | zaf ( z ) | ^_ är avgränsad på det slutna övre halvplanet. Sedan

${\stil z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d \zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatörsnamn {Re} (f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

för alla Im( z ) > 0.

Observera att, jämfört med versionen på enhetsskivan, har denna formel inte en godtycklig konstant adderad till integralen; detta beror på att det ytterligare sönderfallsvillkoret gör villkoren för denna formel strängare.

Följd av Poissons integralformel

Formeln följer från Poissons integralformel tillämpad på u :

$u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatörsnamn {Re} {e^{i\psi }+z \över e^{i\psi}-z}\,d\psi \qquad {\text{för }}|z|<1.$

Med hjälp av konforma kartor kan formeln generaliseras till vilken enkelt ansluten öppen uppsättning som helst.

Anteckningar och referenser

•   Ahlfors, Lars V. (1979), Complex Analysis , Third Edition, McGraw-Hill, ISBN 0-07-085008-9
•   Remmert, Reinhold (1990), Theory of Complex Functions , andra upplagan, Springer, ISBN 0-387-97195-5
•   Saff, EB och AD Snider (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science and Engineering , andra upplagan, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6