Nära semiring

I matematik är en nära-semiring (även seminearring ) en algebraisk struktur mer allmän än en near-ring eller en semiring . Nära-semirings uppstår naturligt från funktioner på monoider .

Definition

En nära-semiring är en mängd S med två binära operationer "+" och "·", och en konstant 0 så att ( S , +, 0) är en monoid (inte nödvändigtvis kommutativ ), ( S , ·) är en halvgrupp , dessa strukturer är relaterade av en enda (höger eller vänster) distributiv lag , och följaktligen är 0 ett ensidigt (höger respektive vänster) absorberande element .

Formellt sägs en algebraisk struktur ( S , +, ·, 0) vara en nära-semiring om den uppfyller följande axiom:

1. ( S , +, 0) är en monoid,
2. ( S , ·) är en halvgrupp,
3. ( a + b ) · c = a · c + b · c , för alla a , b , c i S , och
4. 0 · a = 0 för alla a i S .

Nära-semirings är en vanlig abstraktion av semirings och near-ringar [Golan, 1999; Pilz, 1983]. Standardexemplen på nära-semirings är typiskt av formen M (Г), uppsättningen av alla mappningar på en monoid (Г; +, 0), utrustad med sammansättning av mappningar, punktvis addition av mappningar och nollfunktionen. Delmängder av M (Г) stängda under operationerna ger ytterligare exempel på nära-semirings. Ett annat exempel är ordinalerna under de vanliga operationerna för ordningsarithmetik (här ska klausul 3 ersättas med dess symmetriska form c · ( a + b ) = c · a + c · b . Strängt taget är inte klassen för alla ordinaler en uppsättning, så exemplet ovan borde mer lämpligt kallas en klass nära-semiring . Vi får en nära-semiring i standardbemärkelsen om vi begränsar oss till dessa ordinaler strikt mindre än någon multiplikativt oupplöslig ordinal .

Bibliografi

•   Golan, Jonathan S. , Semirings och deras tillämpningar . Uppdaterad och utökad version av The theory of semirings, med tillämpningar till matematik och teoretisk datavetenskap (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 7923-0 5786-8 MR 1746739
• Krishna, KV , Near-semirings: Theory and application , Ph.D. avhandling, IIT Delhi, New Delhi, Indien, 2005.
• Pilz, G. , Near-Rings: The Theory and Its Applications, Vol. 23 i North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Company, 1983.
• Huvudsidan för Near Ring vid Johannes Kepler Universität Linz
• Willy G. van Hoorn och B. van Rootselaar, Fundamental notions in theory of seminearrings , Compositio Mathematica v. 18, (1967), s. 65–78.