Mittenpunkt

 Godtycklig triangel

   Mandart inellips (centrerad vid mittenpunkt M )

  Linjer från triangelns excenter till varje motsvarande kant mittpunkt ( samtidigt vid mittenpunkt M )

   Delar av triangeln (samtidigt vid Nagel-punkten N )

Inom geometri är mittenpunkten ( från tyska : mittpunkt ) i en triangel ett triangelcentrum : en punkt definierad från triangeln som är invariant under euklidiska transformationer av triangeln. Den identifierades 1836 av Christian Heinrich von Nagel som symmedianpunkten för den excentrala triangeln i den givna triangeln.

Mittenpunkten har trilinjära koordinater

$(b+ca):(c+ab):(a+bc)$

där a , b och c är sidolängderna för den givna triangeln. Uttryckt istället i termer av vinklarna A , B , och C , är de trilinjära

$\cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A) :(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).$

De barycentriska koordinaterna är

$a(b+ca):b(c+ab):c(a+bc)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).$

Kolineariteter

Mittenpunkten är i skärningspunkten mellan linjen som förbinder tyngdpunkten och Gergonne-punkten , linjen som förbinder incentern och symmedianpunkten och linjen som förbinder ortocentret med Spieker- centrumet , vilket skapar tre kollineariteter som involverar mittenpunkten.

Relaterade figurer

De tre linjerna som förbinder den givna triangelns excenter med motsvarande kantmittpunkter möts alla vid mittenpunkten; sålunda är det perspektivcentret för den excentrala triangeln och mediantriangeln, med motsvarande perspektivaxel som är den trilinjära polära Gergonne-punkten . Mittenpunkten är också tyngdpunkten för Mandart-inellipsen i den givna triangeln, ellipsen som tangerar triangeln vid dess extouchpunkter .

Anteckningar

Mittenpunkten fungerar också som Gergonne-punkten i den mediala triangeln .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Mittenpunkt" . MathWorld .