Minkowski-plan

Den här artikeln handlar om Benz-planet. Det är inte att förväxla med Minkowski-rymden .

Inom matematiken är ett Minkowski-plan (uppkallat efter Hermann Minkowski ) ett av Benz-planen (de andra är Möbius-planet och Laguerre-planet ).

Klassiskt äkta Minkowski-plan

klassiskt Minkowski-plan: 2d/3d-modell

Tillämpa det pseudo-euklidiska avståndet $^{2}}$$d(P_{1},P_{2} )=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2$$P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ på två punkter (istället för det euklidiska avståndet) får vi geometrin hos hyperboler , eftersom en pseudo-euklidisk cirkel $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ är en hyperbel med mittpunkt $M$ .

Genom en transformation av koordinater $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$ , ${\ displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$ , det pseudo-euklidiska avståndet kan skrivas om som $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$ . Hyperbolerna har då asymptoter parallella med de icke-primade koordinataxlarna.

Följande komplettering (se Möbius- och Laguerre-planen) homogeniserar hyperbolernas geometri:

• uppsättningen av punkter :
  $${\th {\ma P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\ {\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\ left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$$
• uppsättningen cykler
  $${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\ mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right \}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{xb} }+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty,c\right)\right\}\mid a,b,c \in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

Incidensstrukturen $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ kallas det klassiska verkliga Minkowski-planet .

Uppsättningen av punkter består av $\mathbb {R} ^{2}$ , två kopior av $\mathbb {R}$ och punkten $(\infty , \infty )$ .

Vilken linje $y=ax+b,a\neq 0$ kompletteras med punkt $(\infty ,\infty )$ , valfri hyperbel $y={\frac {a}{xb}}+c,a\neq 0$ av de två punkterna $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (se figur).

Två punkter $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ kan inte kopplas ihop med en cykel om och endast om $x_{1}=x_{2}$ eller $y_{1}=y_{2}$ .

Vi definierar: Två punkter $P_{1},P_{2}$ är (+)-parallella ( $P_{1}\parallel _{+}P_ {2}$ ) om $x_{1}=x_{2}$ och (−)-parallell ( $P_{1}\parallel _{-} P_{2}$ ) om $y_{1}=y_{2}$ . Båda dessa relationer är ekvivalensrelationer på uppsättningen av punkter.

Två punkter $P_{1},P_{2}$ kallas parallella ( $P_{1}\parallel P_{2}$ ) om $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ eller $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$ .

Från definitionen ovan finner vi:

Lemma:

• För alla par av icke parallella punkter $A,B$ finns det exakt en punkt $C$ med $A\parallel _{+}C\parallel _ {-}B$ .
• För vilken punkt ${\displaystyle P} som helst$ och varje cykel $z$ finns det exakt två punkter $A,B\in z$ med $A \parallel _{+}P\parallel _{-}B$ .
• För alla tre punkter $A$ , $B$ , $C$ , parvis icke parallella, finns det exakt en cykel z { $displaystyle z}$ som innehåller $A,B,C$ .
• För varje cykel $z$ , valfri punkt $P\in z$ och valfri punkt $Q,P\not \parallel Q$ och $Q\notin z$ det finns exakt en cykel $z'$ så att $z\cap z'=\{P\}$ , dvs $z$ trycker på $z'$ vid punkt P.

Liksom de klassiska Möbius- och Laguerre-planen kan Minkowski-plan beskrivas som geometrin hos plana sektioner av en lämplig kvadris. Men i det här fallet lever kvadriken i projektiv 3-rymd: Det klassiska verkliga Minkowski-planet är isomorft till geometrin för plana sektioner av en hyperboloid av ett ark (inte degenererad kvadrisk av index 2).

Axiomen för ett Minkowski-plan

Låt $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-}, \in \right)$ vara en incidensstruktur med mängden ${\mathcal {P}}$ av punkter, mängden ${\mathcal {Z}}$ av cykler och två ekvivalensrelationer $\parallel _{+}$ ((+)-parallell) och $\parallel _{-}$ ((−)-parallel) på set ${\mathcal {P}}$ . För $P\in {\mathcal {P}}$ definierar vi: ${\overline {P}}_{+} :=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ och ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$ . En ekvivalensklass ${\overline {P}}_{+}$ eller ${\overline {P}}_{-}$ kallas (+)-generator och (− )-generator . (För rymdmodellen av det klassiska Minkowski-planet är en generator en linje på hyperboloiden.) Två punkter $A,B$ kallas parallella ( $A\parallel B$ ) om $A\parallel _{+}B$ eller $A\parallel _{-}B$ .

En incidensstruktur ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ kallas Minkowski-plan om följande axiom gäller:

Minkowski-axiom-c1-c2

Minkowski-axiom-c3-c4

• C1 : För vilket par som helst av icke parallella punkter $A,B$ finns det exakt en punkt $C$ med $A\parallel _{+}C\ parallell _{-}B$ .
• C2 : För valfri punkt $P$ och valfri cykel $z$ finns det exakt två punkter $A,B\in z$ med ${\ displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$ .
• C3 : För alla tre punkter ${\displaystyle A,B,C} ,$$A,B, C$ icke parallella, finns det exakt en cykel $z$ som innehåller .
• C4 : För valfri cykel $z$ , valfri punkt $P\in z$ och valfri punkt $Q,P\not \parallel Q$ och ${ \displaystyle Q\notin z}$ det finns exakt en cykel $z'$ så att ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}} ,$ dvs. ${ \displaystyle z}$ pekar på $z'$ vid punkt $P$ .
• C5 : Varje cykel innehåller minst 3 poäng. Det finns minst en cykel $z$ och en punkt $P$ inte i $z$ .

För undersökningar är följande påståenden om parallella klasser (motsvarande C1 respektive C2) fördelaktiga.

• C1′ : För två valfria punkter $A,B$ har vi $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$ .
• C2′ : För valfri punkt $P$ och valfri cykel $z$ har vi: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$ .

De första konsekvenserna av axiomen är

Lemma — För ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}$ gäller följande

1. Vilken punkt som helst ingår i minst en cykel.
2. Varje generator innehåller minst 3 poäng.
3. Två punkter kan kopplas samman med en cykel om och endast om de inte är parallella.

Analogt med Möbius- och Laguerre-plan får vi kopplingen till den linjära geometrin via resterna.

För ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _ {+},\parallel _{-},\in )$ och $P\in {\mathcal {P}}$ definierar vi den lokala strukturen

$$=$$

och kalla det resten vid punkt P .

För det klassiska Minkowski-planet $är {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}}$ det verkliga affina planet $\mathbb {R} ^{2 }$ .

En omedelbar följd av axiomen C1 till C4 och C1′, C2′ är följande två satser.

Teorem — För ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallell _{+},\parallel ,\in )$ alla rester är ett affint plan.

Sats — Låt vara ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _ {+},\parallel _{-},\in )$ en incidensstruktur med två ekvivalensrelationer $\parallel _{+}$ och $\parallel _{-}$ på uppsättningen ${\mathcal {P}}$ av poäng (se ovan).

Då är ${\mathfrak {M}}$ ett Minkowski-plan om och endast om för någon punkt $P$ resten ${\mathfrak {A}}_{P}$ är ett affint plan.

Minimal modell

Minkowski-plan: minimal modell

Den minimala modellen av ett Minkowski-plan kan fastställas över mängden ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ av tre element:

$${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$$

$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{ 1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}= \{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\överlinje {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1), (\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),( 1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0 ,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{ Justerat}}$$

Parallella punkter:

• $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ om och endast om $x_{1}=x_{2}$
• $(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ om och endast om $y_{1}=y_{2}$ .

Därför $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ och $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$ .

Finita Minkowski-plan

För finita Minkowski-plan får vi från C1′, C2′:

Lemma — Låta vara ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _ {+},\parallell _{-},\in )$ ett ändligt Minkowski-plan, dvs $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$ . För alla par av cykler $z_{1},z_{2}$ och alla par av generatorer $e_{1},e_{2}$ har vi: $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$ .

Detta ger upphov till definitionen : För ett ändligt Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}$ och en cykel $z$ av ${\mathfrak {M}}$ kallar vi heltal $\left|z\right|-1}$${\mathfrak {M}$ ordningen M } .

Enkla kombinatoriska överväganden ger

Lemma — För ett ändligt Minkowski-plan $\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}}; \parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ följande är sant:

1. Alla rester (affin plan) har ordning $n$ .
2. $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$ ,
3. $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$ .

Miquelian Minkowski plan

Vi får de viktigaste exemplen på Minkowski-plan genom att generalisera den klassiska reella modellen: Byt bara ut $\mathbb {R}$ med ett godtyckligt fält $K$ så får vi i alla fall ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{ +},\parallell _{-},\in )$ .

Analogt med Möbius- och Laguerre-planen är Miquels sats en karakteristisk egenskap hos ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}(K)$ .

Miquels sats

Teorem (Miquel): För Minkowski-planet ${\mathfrak {M}}(K)$ gäller följande:

Om för några 8 parvisa inte parallella punkter $P_{1},...,P_{8}$ som kan tilldelas en kubs hörn så att punkterna i 5 sidor motsvarar koncykliska fyrdubblar, då är den sjätte kvadruplen av punkter koncyklisk också.

(För en bättre översikt i figuren finns cirklar ritade istället för hyperboler.)

Sats (Chen): Endast ett Minkowski-plan ${\mathfrak {M}}(K)$ uppfyller Miquels sats.

På grund av den sista satsen kallas ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)} ett$ miquelianskt Minkowski-plan .

Anmärkning: Den minimala modellen av ett Minkowski-plan är miquelian.

Det är isomorft till Minkowski-planet ${\mathfrak {M}}(K)$ med $K=\operatörsnamn {GF} (2)$ (fält $\{0,1\}$ ).

Ett häpnadsväckande resultat är

Teorem (Heise): Alla Minkowski-plan av jämn ordning är miquelian.

Anmärkning: En lämplig stereografisk projektion visar: ${\mathfrak {M}}(K)$ är isomorf till geometrin för de plana sektionerna på en hyperboloid av ett ark ( kvadrisk av index 2) i projektiv 3 -mellanrum över fältet $K$ .

Anmärkning: Det finns många Minkowski-plan som inte är miquelian (s. webblänk nedan). Men det finns inga "äggformade Minkowski"-plan, till skillnad från Möbius- och Laguerre-plan. Eftersom varje kvadratisk uppsättning av index 2 i projektiv 3-rum är en kvadratisk (se kvadratisk uppsättning ) .

Se även

• Konform geometri

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer
•   Francis Buekenhout (redaktör) (1995) Handbook of Incident Geometry , Elsevier ISBN 0-444-88355-X

externa länkar

• Benz plan i Encyclopedia of Mathematics
• Föreläsningsanteckning Planar Circle Geometries , en introduktion till Moebius-, Laguerre- och Minkowski-planen