Milnor–Thurston knådningsteori

Milnor –Thurston knådningsteorin är en matematisk teori som analyserar iteraten av bitvis monotona avbildningar av ett intervall i sig själv. Tonvikten ligger på att förstå kartläggningens egenskaper som är invarianta under topologisk konjugation .

Teorin hade utvecklats av John Milnor och William Thurston i två brett cirkulerade och inflytelserika Princeton -förtryck från 1977 som reviderades 1981 och slutligen publicerades 1988. Tillämpningar av teorin inkluderar bitvis linjära modeller, räkning av fixpunkter , beräkning av den totala variationen , och konstruera ett invariant mått med maximal entropi .

Kort beskrivning

Knådningsteori ger en effektiv kalkyl för att beskriva det kvalitativa beteendet hos iteraten av en bitvis monoton avbildning f av ett slutet intervall I av den reella linjen in i sig själv. Vissa kvantitativa invarianter av detta diskreta dynamiska system , såsom varvnumren för iteraten och Artin-Mazur zetafunktionen för f uttrycks i termer av vissa matriser och formella potensserier .

Den grundläggande invarianten av f är dess knådningsmatris , en rektangulär matris med koefficienter i ringen $\mathbb {Z} [[t]]$ av heltalsformella potensserier. En närbesläktad knådningsdeterminant är en formell potensserie

$D(t)=1+D_{1}t+D_{2}t^{2}+\cdots \,$

med udda heltalskoefficienter. I det enklaste fallet när kartan är unimodal , med ett maximum vid c , är varje koefficient $D_{k}$ antingen $+1$ eller $-1$ , enl. om $(k+1)$ iterationen $f^{k+1}$ har lokalt maximum eller lokalt minimum vid c .

Se även

• Sharkovskys teorem
• Topologisk entropi

•   Milnor, John W. ; Thurston, William (1988), "On iterated maps of the interval", Dynamical systems (College Park, MD, 1986–87) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1342, Berlin: Springer, s. 465–563, doi : 10.1007/BFb0082847 , MR 0970571
•   Preston, Chris (1989), "What you need to know to knead", Advances in Mathematics , 78 (2): 192–252, doi : 10.1016/0001-8708(89)90033-9 , MR 1029100