Sharkovskis sats

Inom matematiken är Sharkovskiis sats (förekommer även under namnet Sharkovskys sats , Sharkovskiys sats , Šarkovskiis sats eller Sarkovskiis sats ), uppkallad efter Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky , som publicerade den 1964 i ett dynamiskt systemdiskret resultat . En av implikationerna av satsen är att om ett diskret dynamiskt system på den reella linjen har en periodisk punkt av period 3, så måste den ha periodiska punkter för varannan period.

Påstående

För ett visst intervall ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} } ,$ anta att

$$f:I\to I$$

är en kontinuerlig funktion . Talet $x$ kallas en periodisk punkt i perioden $m$ om $f^{(m)}(x)=x$ , där $f^{(m)}$ betecknar den itererade funktionen som erhålls genom sammansättning av $m$ kopior av $f$ . Talet $x$ sägs ha minsta perioden $m$ om dessutom $f^{(k)}(x)\neq x$ för alla $0<k<m$ . Sharkovskiis sats avser de möjliga minsta perioderna av periodiska punkter av $f$ . Tänk på följande ordning av de positiva heltalen , ibland kallad Sharkovskii-ordningen:

$${\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3 \cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2 }&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2 ^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{ 3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}$$

Den består av:

• de udda talen $=(2n+1)\cdot 2^{0}$ i ökande ordning,
• 2 gånger de udda talen $=(2n+1)\cdot 2^{1}$ i ökande ordning,
• 4 gånger de udda talen $=(2n+1)\cdot 2^{2}$ i ökande ordning,
• 8 gånger de udda talen $=(2n+1)\cdot 2^{3}$ ,
• etc. $=(2n+1)\cdot 2^{m}$
• slutligen, potenserna två $=2^{n}$ i fallande ordning.

Denna ordning är en total ordning : varje positivt heltal visas exakt en gång någonstans på den här listan. Det är dock ingen bra ordning . I en välordning skulle varje delmängd ha ett tidigast element, men i denna ordning finns det ingen tidigaste potens av två.

Sharkovskiis sats säger att om $f$ har en periodisk punkt på minsta perioden $m$ och $m$ föregår $n$ i ovanstående ordning, då $f$ har också en periodisk punkt med minsta period $n$ .

En konsekvens är att om $f$ bara har ändligt många periodiska punkter, så måste de alla ha punkter som är två potenser. Dessutom, om det finns en periodisk punkt i period tre, så finns det periodiska punkter för alla andra perioder.

Sharkovskiis teorem säger inte att det finns stabila cykler av dessa perioder, bara att det finns cykler av dessa perioder. För system som logistikkartan visar bifurkationsdiagrammet en rad parametervärden för vilka uppenbarligen den enda cykeln har period 3. Faktum är att det måste finnas cykler för alla perioder där, men de är inte stabila och därför inte synliga på datorgenererad bild.

Antagandet om kontinuitet är viktigt. Utan detta antagande, den diskontinuerliga bitvis linjära funktionen $f:[0,3)\to [0,3)$ definierad som:

$$f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0 \leq x<2\\x-2&\mathrm {för\ } 2\leq x<3\end{cases}}$$

där varje värde har period 3, skulle vara ett motexempel. Lika viktigt är antagandet att $f$ definieras på ett intervall. Annars ${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}} ,$ som definieras på reella tal förutom det ena: ${\ displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$ och för vilka varje värde som inte är noll har period 3, skulle vara ett motexempel.

Generaliseringar och relaterade resultat

Sharkovskii bevisade också den omvända satsen: varje övre uppsättning av ovanstående ordning är uppsättningen av perioder för någon kontinuerlig funktion från ett intervall till sig själv. Faktum är att alla sådana uppsättningar perioder uppnås av funktionsfamiljen $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ , $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$$h\ i [0,1]$ h , förutom den tomma uppsättningen av perioder som uppnås av ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ,$ x $\ displaystyle x\mapsto x+1}$ .

Å andra sidan, med ytterligare information om den kombinatoriska strukturen för intervallkartan som verkar på punkterna i en periodisk bana, kan en punkt-n-punkt tvinga fram period-3 (och därmed alla perioder). Nämligen, om omloppstypen (den cykliska permutationen som genereras av kartan som verkar på punkterna i den periodiska omloppsbanan) har ett så kallat sträckande par, så innebär detta att det finns en periodisk punkt av period-3. Det kan visas (i asymptotisk mening) att nästan alla cykliska permutationer tillåter minst ett sträckande par, och därför innebär nästan alla omloppstyper period-3.

Tien-Yien Li och James A. Yorke visade 1975 att inte bara existensen av en period-3-cykel innebär att det finns cykler för alla perioder, utan att det dessutom innebär att det finns en oräknelig oändlighet av punkter som aldrig kartläggs till vilken cykel som helst ( kaotiska punkter )—en egenskap som kallas period tre innebär kaos .

Sharkovskiis sats gäller inte omedelbart för dynamiska system på andra topologiska rum. Det är lätt att hitta en cirkelkarta med periodiska punkter endast i period 3: ta en rotation med 120 grader, till exempel. Men vissa generaliseringar är möjliga, vanligtvis involverar kartläggningsklassgruppen av rymden minus en periodisk omloppsbana. Till exempel, Peter Kloeden visade att Sharkovskiis sats gäller för triangulära avbildningar, dvs avbildningar för vilka komponenten f _i endast beror på de första i - komponenterna x ₁ ,..., x _i .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Sharkovskys sats" . MathWorld .
• Sharkovskiis teorem vid PlanetMath .
•   Teschl, Gerald (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
• Misiurewicz, Michal. "Anmärkningar om Sharkovskys sats". The American Mathematical Monthly , Vol. 104, nr 9 (nov., 1997), sid. 846-847. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
• Keith Burns och Boris Hasselblatt, Sharkovsky-satsen: ett naturligt direkt bevis
• scholarpedia: Sharkovsky beställning av Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky