Artin–Mazur zeta-funktion

Inom matematik är Artin –Mazur zeta-funktionen , uppkallad efter Michael Artin och Barry Mazur , en funktion som används för att studera de itererade funktionerna som förekommer i dynamiska system och fraktaler .

Den definieras från en given funktion $f$ som den formella potensserien

$\zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n =1}^{\infty }{\bigl |}\operatörsnamn {Fix} (f^{n}){\bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right),$

där $\operatorname {Fix} (f^{n})$ är uppsättningen av fixpunkter för $n$ iteraten av funktionen $f$ , och $|\operatörsnamn {Fix} (f^{n})|$ är antalet fixpunkter (dvs. kardinaliteten för den mängden).

Observera att zeta-funktionen endast definieras om uppsättningen av fixpunkter är ändlig för varje $n$ . Denna definition är formell eftersom serien inte alltid har en positiv konvergensradie .

Artin-Mazur zeta-funktionen är invariant under topologisk konjugering .

Milnor –Thurston-satsen säger att Artin–Mazur zeta-funktionen för en intervallkarta $f$ är inversen av knådningsdeterminanten för $f$ .

Analoger

Artin–Mazur zeta-funktionen liknar formellt den lokala zetafunktionen , när en diffeomorfism på ett kompakt grenrör ersätter Frobenius-kartläggningen för en algebraisk variant över ett ändligt fält .

Ihara zeta-funktionen i en graf kan tolkas som ett exempel på Artin-Mazur zeta-funktionen.

Se även

• Lefschetz nummer
• Lefschetz zeta-funktion

•     Artin, Michael ; Mazur, Barry (1965), "On periodic points", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 81 (1): 82–99, doi : 10.2307/1970384 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19703801 7 , 4MR 8201
•   Ruelle, David (2002), "Dynamiska zetafunktioner och överföringsoperatorer" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (8): 887–895, MR 1920859
•   Kotani, Motoko ; Sunada, Toshikazu (2000), "Zeta functions of finita graphs", J. Math. Sci. Univ. Tokyo , 7 : 7–25, CiteSeerX 10.1.1.531.9769
•    Terras, Audrey (2010), Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 128, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11367-0 , Zbl 1206.05003