Mertons portföljproblem

För Mertons enperiodsportföljproblem, se Separationssatsen för aktiefonder .

Mertons portföljproblem är ett välkänt problem inom kontinuerlig finansiering och i synnerhet intertemporala portföljval . En investerare måste välja hur mycket han vill konsumera och måste fördela sin förmögenhet mellan aktier och en riskfri tillgång för att maximera förväntad nytta . Problemet formulerades och löstes av Robert C. Merton 1969 både för ändliga livstider och för det oändliga fallet. Forskning har fortsatt att utöka och generalisera modellen till att inkludera faktorer som transaktionskostnader och konkurs.

Problemformulering

₀ Investeraren lever från tid 0 till tid T ; deras rikedom vid tidpunkten T betecknas W _T . Han börjar med en känd initial förmögenhet W (som kan innefatta nuvärdet av löneinkomsten). Vid tidpunkten t måste han välja vilken mängd av sin förmögenhet som ska konsumeras, c _t , och vilken del av förmögenheten som ska investeras i en aktieportfölj, π _t (resterande del 1 − π _t investeras i den riskfria tillgången).

Målet är

$T}e^ {-\rho s}u(c_{s})\,ds+\epsilon ^{\gamma }e^{-\rho T}u(W_{T})\right]}$

där E är förväntningsoperatorn, u är en känd nyttofunktion (som gäller både för konsumtion och för terminalförmögenheten, eller testamentet, W _T ), ε parametriserar den önskade nivån av testamentet, och ρ är den subjektiva diskonteringsräntan.

Förmögenheten utvecklas enligt den stokastiska differentialekvationen

$dW_{t}=[(r+\pi _{t} (\mu -r))W_{t}-c_{t}]\,dt+W_{t}\pi _{t}\sigma \,dB_{t}$

där r är den riskfria räntan, ( μ , σ ) är den förväntade avkastningen och volatiliteten på aktiemarknaden och dB _t är ökningen av Wienerprocessen , dvs. den stokastiska termen för SDE.

Verktygsfunktionen är av formen konstant relativ riskaversion (CRRA):

$u(x)={\frac {x^{1-\gamma }}{1-\gamma }},$

där $\gamma$ är en konstant som uttrycker investerarens riskaversion: ju högre gamma är, desto mer ovilja att äga aktier.

Konsumtionen kan inte vara negativ: c _t ≥ 0, medan π _t är obegränsad (det vill säga att låna eller korta aktier är tillåtet).

Investeringsmöjligheter antas konstanta, det vill säga r , μ , σ är kända och konstanta, i denna (1969) version av modellen, även om Merton tillät dem att förändras i sin intertemporala CAPM (1973).

Lösning

Något överraskande för ett optimalt kontrollproblem finns en sluten lösning. Den optimala förbrukningen och lagerfördelningen beror på rikedom och tid enligt följande:

$\pi (W,t)={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}.$

(Detta uttryck kallas vanligtvis Mertons bråkdel. Observera att W och t inte visas på höger sida; detta innebär att en konstant bråkdel av förmögenheten investeras i aktier, oavsett vilken ålder eller välstånd investeraren har) .

$c(W,t)={\begin{cases}\nu \left(1+(\nu \epsilon -1)e^{-\nu (Tt) }\right)^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {och}}\;\nu \neq 0\\(T-t+\epsilon )^{ -1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {och}}\;\nu =0\\\nu W&{\textrm {if}}\;T=\infty \end{cases}}$

där $0\leq \epsilon \ll 1$ och

${\begin{aligned}\nu &=\left(\rho -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2 }\gamma }}+r\right)\right)/\gamma \\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}} {2\sigma ^{2}\gamma ^{2}}}+{\frac {r}{\gamma }}\right)\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )(\pi (W,t)^{2}\sigma ^{2}/2+r/\gamma )\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )((\mu -r)\pi (W ,t)/2\gamma +r/\gamma ).\end{aligned}}$

Variabeln $\rho$ är den subjektiva diskonteringsräntan.)

Tillägg

Många varianter av problemet har utforskats, men de flesta leder inte till en enkel lösning i sluten form.

• Flexibel pensionsålder kan beaktas.
• En annan hjälpfunktion än CRRA kan användas.
• Transaktionskostnader kan införas. För proportionella transaktionskostnader löstes problemet av Davis och Norman 1990. Det är ett av få fall av stokastisk singular kontroll där lösningen är känd. För en grafisk representation kan det belopp som investerats i var och en av de två tillgångarna plottas på x- och y -axlarna; tre diagonala linjer genom origo kan dras: den övre gränsen, Mertonlinjen och den nedre gränsen. Merton -linjen representerar portföljer med andelen aktie/obligation som härleds av Merton i frånvaro av transaktionskostnader. Så länge punkten som representerar den aktuella portföljen är nära Mertonlinjen, dvs mellan den övre och den nedre gränsen, behöver inga åtgärder vidtas. När portföljen korsar över den övre eller under den nedre gränsen, bör man balansera om portföljen för att föra tillbaka den till den gränsen. 1994 gav Shreve och Soner en analys av problemet via Hamilton–Jacobi–Bellman-ekvationen och dess viskositetslösningar.

När det finns fasta transaktionskostnader togs problemet upp av Eastman och Hastings 1988. En numerisk lösningsmetod tillhandahölls av Schroder 1995.

Slutligen övervägde Morton och Pliska handelskostnader som är proportionella mot investerarens förmögenhet för logaritmisk nytta. Även om denna kostnadsstruktur inte verkar representativ för verkliga transaktionskostnader, kan den användas för att hitta ungefärliga lösningar i fall med ytterligare tillgångar, till exempel enskilda aktier, där det blir svårt eller svårlöst att ge exakta lösningar på problemet.

• Antagandet om ständiga investeringsmöjligheter kan mildras. Detta kräver en modell för hur $r,\mu ,\sigma$ förändras över tiden. En räntemodell skulle kunna läggas till och skulle leda till en portfölj som innehåller obligationer med olika löptider. Vissa författare har lagt till en stokastisk volatilitetsmodell för aktiemarknadens avkastning.
• Konkurs kan införlivas. Detta problem löstes av Karatzas, Lehoczky, Sethi och Shreve 1986. Många modeller som innehåller konkurs finns samlade i Sethi (1997).

•   Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Metoder för matematisk finansiering . Stokastisk modellering och tillämpad sannolikhet. Vol. 39. doi : 10.1007/b98840 . ISBN 978-0-387-94839-3 .
• Merton RC: Continuous Time Finance , Blackwell (1990).