Intertemporal CAPM

Inom matematisk finansiering är Intertemporal Capital Asset Pricing Model, eller ICAPM , ett alternativ till CAPM från Robert Merton . Det är en linjär faktormodell med förmögenhet som statlig variabel som prognostiserar förändringar i fördelningen av framtida avkastning eller inkomst .

I ICAPM löser investerare livstidskonsumtionsbeslut när de står inför mer än en osäkerhet. Huvudskillnaden mellan ICAPM och standard CAPM är de ytterligare tillståndsvariablerna som bekräftar det faktum att investerare säkrar sig mot underskott i konsumtion eller mot förändringar i framtida investeringsmöjlighet .

Kontinuerlig tidsversion

Merton anser att en kontinuerlig tidsmarknad är i jämvikt. Tillståndsvariabeln (X) följer en brownisk rörelse :

$dX=\mu dt+sdZ$

Investeraren maximerar sin Von Neumann–Morgenstern-nytta :

$E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U [C(t),t]dt+B[W(T),T]\höger\}$

där T är tidshorisonten och B[W(T),T] nyttan från rikedom (W).

Investeraren har följande restriktion på förmögenhet (W). Låt $w_{i}$ vara vikten som investeras i tillgången i. Sedan:

$W(t+dt)=[ W(t)-C(t)dt]\summa _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]$

där $r_{i}$ är avkastningen på tillgången i. Förändringen i rikedom är:

$dW=-C(t)dt+[ W(t)-C(t)dt]\summa w_{i}(t)r_{i}(t+dt)$

Vi kan använda dynamisk programmering för att lösa problemet. Om vi ​​till exempel betraktar en serie diskreta tidsproblem:

$\max E_{0}\left\ {\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\ }$

Sedan ger en Taylor-expansion :

$\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1 }{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\ungefär U[C(t),t]dt$

där $t^{*}$ är ett värde mellan t och t+dt.

Förutsatt att returer följer en brownisk rörelse :

$r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}$

med:

$E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2}) =var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt$

Avbryter sedan villkor av andra och högre ordning:

$dW\approx [W(t)\summa w_{i }\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\summa w_{i}\sigma _{i}dz_{i}$

Med Bellmans ekvation kan vi återställa problemet:

$J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s ]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\höger\}$

omfattas av den förmögenhetsbegränsning som tidigare angivits.

Med hjälp av Itos lemma kan vi skriva om:

$dJ=J[W(t+dt),X (t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1 }{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW$

och förväntat värde:

$E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+ J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW }var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)$

Efter lite algebra har vi följande objektivfunktion:

$max\left\{ U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{ f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{n }w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}$

där $r_{f}$ är den riskfria avkastningen. Första ordningens villkor är:

$J_{W}( \alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\ sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n$

I matrisform har vi:

$(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })= {\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}$

där $\alpha$ är vektorn för förväntad avkastning, $\Omega$ kovariansmatrisen för avkastning, ${\mathbf {1} }$ en enhetsvektor $displaystyle cov_{rX}}$${$ \ kovariansen mellan avkastning och tillståndsvariabeln. De optimala vikterna är:

${\mathbf {w} ^{*}} ={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX }}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}$

Lägg märke till att den intertemporala modellen ger samma vikter av CAPM . Förväntad avkastning kan uttryckas på följande sätt:

$\alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\ alfa _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})$

där m är marknadsportföljen och ha portfölj för att säkra statens variabel.

Se även

• Intertemporalt portföljval

• Merton, RC, (1973), An Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econometrica 41, vol. 41, nr 5. (sep., 1973), s. 867–887
• "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing" av Eugene F. Fama, ( The Journal of Financial and Quantitative Analysis), Vol. 31, nr 4, dec., 1996