Mersennes lagar

En sträng som är halva längden (1/2), fyra gånger spänningen (4), eller en fjärdedel av massan per längd (1/4) är en oktav högre (2/1). Om spänningen på ett snöre är tio lbs. måste den ökas till 40 lbs. för en tonhöjd en oktav högre.

Ett snöre, bundet vid A , hålls i spänning av W , en upphängd vikt, och två broar, B och den rörliga bron C , medan D är ett fritt rörligt hjul; alla tillåter en att demonstrera Mersennes lagar angående spänning och längd

Mersennes lagar är lagar som beskriver svängningsfrekvensen för en sträckt sträng eller monochord , användbara i musikalisk stämning och musikinstrumentkonstruktion .

Översikt

Ekvationen föreslogs först av den franske matematikern och musikteoretikern Marin Mersenne i hans 1636 arbete Harmonie universelle . Mersennes lagar reglerar konstruktionen och driften av stränginstrument , såsom pianon och harpor , som måste rymma den totala spänningskraften som krävs för att hålla strängarna på rätt tonhöjd. Nedre strängar är tjockare och har därför en större massa per längd. De har vanligtvis lägre spänningar . Gitarrer är ett välbekant undantag från detta: strängspänningarna är likartade, för spelbarheten, så lägre strängton uppnås till stor del med ökad massa per längd. Högre strängar är vanligtvis tunnare, har högre spänning och kan vara kortare. "Detta resultat skiljer sig inte väsentligt från Galileos , men det är med rätta känt som Mersennes lag," eftersom Mersenne fysiskt bevisade sin sanning genom experiment (medan Galileo ansåg deras bevis omöjligt). "Mersenne undersökte och förfinade dessa relationer genom experiment men skapade dem inte själv". Även om hans teorier är korrekta, är hans mätningar inte särskilt exakta, och hans beräkningar förbättrades avsevärt av Joseph Sauveur (1653–1716) genom att använda akustiska slag och metronomer .

Ekvationer

Den naturliga frekvensen är:

• a) Omvänt proportionell mot strängens längd (Pythagoras lag),
• b) Proportionell mot kvadratroten av sträckkraften, och
• c) Omvänt proportionell mot kvadratroten av massan per längd.

$f_{0}\propto {\tfrac {1}{L}}.$ (ekvation 26)

$f_{0}\propto {\sqrt {F}}.$ (ekvation 27)

$f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}.$ (ekvation 28)

Således, till exempel, om alla andra egenskaper hos strängen är lika, för att göra tonen en oktav högre (2/1) skulle man behöva antingen minska dess längd med hälften (1/2), för att öka spänningen till kvadraten ( 4), eller för att minska dess massa per längd med den omvända kvadraten (1/4).

Övertoner	Längd,	Spänning,	eller mässa
1	1	1	1
2	1/2 = 0,5	2² = 4	1/2² = 0,25
3	1/3 = 0, 33	3² = 9	1/3² = 0. 11
4	1/4 = 0,25	4² = 16	1/4² = 0,0625
8	1/8 = 0,125	8² = 64	1/8² = 0,015625

Dessa lagar är härledda från Mersennes ekvation 22:

$f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.$

Formeln för grundfrekvensen är :

$f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},$

där f är frekvensen, L är längden, F är kraften och μ är massan per längd.

Liknande lagar utvecklades inte för pipor och blåsinstrument samtidigt eftersom Mersennes lagar föregick uppfattningen att blåsinstrumentets tonhöjd är beroende av longitudinella vågor snarare än "slagverk".

Se även

• Cykloid
• Långsträngat instrument
• Överton
• Stående våg

externa länkar

• Media relaterade till Mersennes lagar på Wikimedia Commons