Barnes integral

I matematik är en Barnes-integral eller Mellin -Barnes-integral en konturintegral som involverar en produkt av gammafunktioner . De introducerades av Ernest William Barnes ( 1908 , 1910 ). De är nära besläktade med generaliserade hypergeometriska serier .

Integralen tas vanligtvis längs en kontur som är en deformation av den imaginära axeln som passerar till höger om alla poler av faktorer av formen Γ( a + s ) och till vänster om alla poler av faktorer av formen Γ( a − s ).

Hypergeometrisk serie

Den hypergeometriska funktionen ges som en Barnes-integral ( Barnes 1908) av

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{ \Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s )\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds,$

se även ( Andrews, Askey & Roy 1999 , Theorem 2.4.1). Denna likhet kan erhållas genom att flytta konturen åt höger samtidigt som resterna plockas upp vid s = 0, 1, 2, ... . för $z\ll 1$ , och genom analytisk fortsättning någon annanstans. Givet korrekta konvergensvillkor kan man relatera mer generella Barnes integraler och generaliserade hypergeometriska funktioner _p F _q på ett liknande sätt ( Slater 1966) .

Barnes lemman

Det första Barnes lemma ( Barnes 1908) säger

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (cs) \Gamma (ds)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+ d)}}.$

Detta är en analog till Gauss ₂ F ₁ summeringsformel och även en förlängning av Eulers beta-integral . Integralen i den kallas ibland för Barnes beta-integral .

Det andra Barnes-lemmat ( Barnes 1910) säger

${ \displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-ds)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds}$

$={\frac {\Gamma (a)\ Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (ea)\Gamma (eb)\Gamma (ec)}}$

där e = a + b + c − d + 1. Detta är en analog till Saalschützs summeringsformel.

q-Barnes integraler

Det finns analoger till Barnes-integraler för grundläggande hypergeometriska serier , och många av de andra resultaten kan också utvidgas till detta fall ( Gasper & Rahman 2004, kapitel 4).

•    Andrews, GE ; Askey, R .; Roy, R. (1999). Specialfunktioner . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71. Cambridge University Press . ISBN 0-521-62321-9 . MR 1688958 .
•   Barnes, EW (1908). "En ny utveckling av teorin om de hypergeometriska funktionerna" . Proc. London Math. Soc . s2-6 : 141-177. doi : 10.1112/plms/s2-6.1.141 . JFM 39.0506.01 .
•   Barnes, EW (1910). "En transformation av generaliserade hypergeometriska serier". Quarterly Journal of Mathematics . 41 : 136–140. JFM 41.0503.01 .
•    Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Grundläggande hypergeometrisk serie . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 96 (andra upplagan). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83357-8 . MR 2128719 .
•      Slater, Lucy Joan (1966). Generaliserade hypergeometriska funktioner . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X . MR 0201688 . Zbl 0135.28101 . (det finns en pocketbok från 2008 med ISBN 978-0-521-09061-2 )