Fox H-funktion

"H-funktion" omdirigerar hit. Ej att förväxla med övertonsnummer .

Inom matematiken är Fox H-funktionen H ( x ) en generalisering av Meijer G-funktionen och Fox–Wright-funktionen introducerad av Charles Fox ( 1961 ). Den definieras av en Mellin–Barnes-integral

$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\ börja{matris}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1}, B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1 }{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{ j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}- B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,$

där L är en viss kontur som skiljer polerna för de två faktorerna i täljaren. Jämför med Meijer G-funktion:

Plott av Fox H-funktionen H((((a 1,α 1),...,(an,α n)),((a n+1,α n+1),...,(ap, αp)),(((b 1,β 1),...,(bm,βm)),i ((b m+1,β m+1),...,(bq,β q ))),z) med H(((),()),(((-1,½)),()),z)

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_{p}\\b_{1}, \dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s) }}\,z^{s}\,ds.$

Det speciella fallet för vilket Fox H reducerar till Meijer G är A _j = B _k = C , C > 0 för j = 1... p och k = 1... q ( Srivastava 1984 , s. 50) :

$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)& \ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right .\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z^{1/C}\right).$

En generalisering av Fox H-funktionen ges av Ram Kishore Saxena Innayat Hussain AA (1987) . För en ytterligare generalisering av denna funktion, användbar inom fysik och statistik gavs av AMMathai och Ram Kishore Saxena , se Rathie (1997) .

•     Fox, Charles (1961), "The G and H functions as symmetrical Fourier kernels", Transactions of the American Mathematical Society , 98 (3): 395–429, doi : 10.2307/1993339 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 19933 , MR39 19933 0131578
• Innayat-Hussain, AA (1987), "Nya egenskaper hos hypergeometriska serier härledbara från Feynman-integraler. I: Transformations- och reduktionsformler", J. Phys. A: Matematik. Gen. , 20 : 4109–4117, doi : 10.1088/0305-4470/20/13/019
• Innayat-Hussain, AA (1987), "Nya egenskaper hos hypergeometriska serier härledbara från Feynman-integraler. II: En generalisering av H-funktionen", J. Phys. A: Matematik. Gen. , 20 (13): 4119–4128, doi : 10.1088/0305-4470/20/13/020
•   Kilbas, Anatoly A. (2004), H-Transforms: Theory and Applications , CRC Press, ISBN 978-0415299169

•    Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore (1978), H-funktionen med tillämpningar inom statistik och andra discipliner , Halsted Press [John Wiley & Sons], New York-London-Sidney, ISBN 978-0-470-26380-8 , MR 0513025
•    Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010), The H-function , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4419-0915-2 , MR 2562766
• Rathie, Arjun K. (1997), "A new generalization of generalized hypergeometric function", Le Matematiche , LII : 297–310 .
•   Srivastava, HM; Gupta, KC; Goyal, SP (1982), H-funktionerna för en och två variabler , New Delhi: South Asian Publishers Pvt. Ltd., MR 0691138
•   Srivastava, HM; Manocha, HL (1984). En avhandling om att generera funktioner . ISBN 0-470-20010-3 .

externa länkar

• hypergeom på GitLab
• Använd för att lösa $x+x^{a}=y$ på MathOverflow