Matris geometrisk metod

I sannolikhetsteorin är den geometriska matrismetoden en metod för analys av kvasi-födelse-dödsprocesser, en kontinuerlig Markov-kedja vars övergångshastighetsmatriser har en repetitiv blockstruktur. Metoden utvecklades "till stor del av Marcel F. Neuts och hans elever från och med 1975."

Metodbeskrivning

Metoden kräver en övergångshastighetsmatris med tridiagonal blockstruktur enligt följande

$Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01 }\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_ {1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

₀  där var _och en av B00 , B01 , B10 _, A _, Ai och A2 _{är matriser} . För att beräkna den stationära fördelningen π genom att skriva π Q = 0 beaktas balansekvationerna för delvektorer π _i

${\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01 }+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+ \pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+ 1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}$

Observera att förhållandet

$\pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}$

gäller där R är Neuts hastighetsmatris, som kan beräknas numeriskt. Med hjälp av detta skriver vi

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1$

₀ som kan lösas för att hitta π och π ₁ och därför iterativt alla π _i .

Beräkning av R

Matrisen R kan beräknas med cyklisk reduktion eller logaritmisk reduktion.

Matrisanalysmetod

Huvudartikel: Matrix analytic method

Den matrisanalytiska metoden är en mer komplicerad version av den matrisgeometriska lösningsmetoden som används för att analysera modeller med block M/G/1- matriser. Sådana modeller är svårare eftersom inget samband som π _i = π ₁ R ^{i – 1} ovan gäller.

externa länkar

• Performance Modeling and Markov Chains (del 2) av William J. Stewart vid 7th International School on Formal Methods for Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation