Lindleys ekvation

I sannolikhetsteorin är Lindley -ekvationen , Lindley-rekursionen eller Lindley-processerna en tidsdiskret stokastisk process A _n där n tar heltalsvärden och :

An _{. + 1 =} max(0 , An + Bn ₎

Processer av denna form kan användas för att beskriva väntetiden för kunder i en kö eller utveckling av en kölängd över tid. Idén föreslogs först i diskussionen efter Kendalls papper från 1951.

Väntetider

I Dennis Lindleys första artikel om ämnet används ekvationen för att beskriva väntetider som kunder upplever i en kö med disciplinen First-In First-Out (FIFO).

W _{n + 1} = max(0, W _n + U _n )

var

• T _n är tiden mellan den n :e och ( n +1):e ankomsten,
• S _n är servicetiden för den n :e kunden, och
• U _n = S _n − T _n
• W _n är väntetiden för den n: e kunden.

Den första kunden behöver inte vänta så W ₁ = 0. Efterföljande kunder måste vänta om de anländer vid en tidpunkt innan den tidigare kunden har betjänats.

Kölängder

Utvecklingen av kölängdsprocessen kan också skrivas i form av en Lindley-ekvation.

Integralekvation

Lindleys integralekvation är ett förhållande som uppfylls av den stationära väntetidsfördelningen F( x ) i en G/G/1-kö .

$F(x)=\int _{0^{-}}^{\infty }K(xy)F( {\text{d}}y)\quad x\geq 0$

Där K( x ) är fördelningsfunktionen för den slumpmässiga variabeln som anger skillnaden mellan den ( k - 1):e kundens ankomst och tiden mellan ( k - 1):e och k :te kunderna. Wiener -Hopf-metoden kan användas för att lösa detta uttryck.