Kvasi-födelse-död process

I kömodeller , en disciplin inom den matematiska sannolikhetsteorin , beskriver kvasi-födelse-död-processen en generalisering av födelse - död-processen . Precis som med födelse-död-processen rör sig den upp och ner mellan nivåerna en i taget, men tiden mellan dessa övergångar kan ha en mer komplicerad fördelning kodad i blocken.

Diskret tid

Den stokastiska matrisen som beskriver Markov-kedjan har blockstruktur

$P={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ast }&A_ {2}^{\ast }\\A_{0}^{\ast }&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1 }&A_{2}\\&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

₀₀ där var och en av A , Ai och A2 är matriser och A * _, A * ₁ och A * _{2 är oregelbundna matriser för den} första och andra nivån.

Kontinuerlig tid

Övergångshastighetsmatrisen för en kvasi-födelse-död - process har en tridiagonal blockstruktur

$Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01 }\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_ {1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

₀ där var _och en av B00 , B01 , B10 _, A _, Ai och A2 _{är matriser} . Processen kan ses som en tvådimensionell kedja där blockstrukturen kallas nivåer och intrablockstrukturfaserna . När man beskriver processen efter både nivå och fas är det en kontinuerlig Markov-kedja , men när man bara betraktar nivåer är det en semi-Markov-process (eftersom övergångstider då inte är exponentiellt fördelade).

Vanligtvis har blocken ändligt många faser, men modeller som Jackson-nätverket kan betraktas som kvasi-födelse-död-processer med oändligt (men uträkneligt ) många faser.

Stationär distribution

Den stationära fördelningen av en kvasi-födelse-död-process kan beräknas med den geometriska matrismetoden .