Matlis dualitet
I algebra är Matlis-dualitet en dualitet mellan Artinian och Noetherian moduler över en komplett Noetherian lokal ring . I det speciella fallet när den lokala ringen har ett fält [ förtydligande behövs ] avbildning till restfältet är det nära besläktat med tidigare arbete av Francis Sowerby Macaulay om polynomringar och kallas ibland Macaulay-dualitet , och det allmänna fallet introducerades av Matlis ( 1958 ).
Påstående
Anta att R är en Noetherian komplett lokal ring med restfält k , och välj E att vara ett injektivt skrov av k (kallas ibland en Matlis-modul ). Den dubbla DR ( M ) för en modul M definieras till att vara HomR ( M , E ) . Sedan anger Matlis dualitet att dualitetsfunktionen DR ger en antiekvivalens mellan kategorierna Artinian och Noetherian R -moduler . I synnerhet ger dualitetsfunktionen en antiekvivalens från kategorin ändliga moduler till sig själv.
Exempel
Antag att den noeteriska kompletta lokala ringen R har ett underfält k som mappar till ett underfält med ändligt index av dess restfält R / m . Då är Matlis-dualen för vilken R -modul som helst bara dess dual som ett topologiskt vektorrum över k , om modulen ges sin m -adiska topologi. I synnerhet är dualen av R som ett topologiskt vektorrum över k en Matlis-modul. Detta fall är nära relaterat till Macaulays arbete på graderade polynomringar och kallas ibland Macaulay-dualitet.
Om R är en diskret värderingsring med kvotfält K så är Matlis-modulen K / R . I det speciella fallet när R är ringen av p -adiska tal , är Matlis-dualen för en finit-genererad modul Pontryagin-dualen av den betraktad som en lokalt kompakt abelsk grupp .
Om R är en Cohen-Macaulay lokal ring med dimension d med dualiserande modul Ω, så ges Matlis-modulen av den lokala kohomologigruppen H
d R (Ω). I synnerhet om R är en artinisk lokal ring är Matlis-modulen densamma som dualiseringsmodulen.
Förklaring med hjälp av adjoint-funktioner
Matlis-dualitet kan begreppsmässigt förklaras med hjälp av språket för adjointfunktioner och härledda kategorier : funktoren mellan de härledda kategorierna av R- och k -moduler inducerad genom att betrakta en k -modul som en R -modul, medger en högeradjoint (deriverad intern Hom )
Denna högra adjoint skickar det injektiva skrovet som nämnts ovan till k , som är ett dualiserande objekt i . Detta abstrakta faktum ger sedan upphov till den ovan nämnda likvärdigheten.
Se även
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay ringar , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7 , MR 1251956
- Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings" , Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , 36 MR 019 från originalet 04, d 9. -05-03