Energikaskad

Flödesvisualisering av en turbulent jet, gjord av laserinducerad fluorescens . Strålen uppvisar ett brett spektrum av längdskalor, en förutsättning för uppkomsten av en energikaskad i turbulensmodelleringen.

Inom kontinuummekanik innebär en energikaskad överföring av energi från stora rörelseskalor till små skalor (kallad direkt energikaskad ) eller en överföring av energi från små skalor till stora skalor (kallad invers energikaskad ). Denna överföring av energi mellan olika skalor kräver att dynamiken i systemet är olinjär . Strängt taget kräver en kaskad att energiöverföringen är lokal i skala (endast mellan fluktuationer av nästan samma storlek), vilket framkallar ett forsande vattenfall från pool till pool utan långväga överföringar över skaldomänen.

Stora virvlar har små virvlar som livnär sig på deras hastighet, och små virvlar har mindre virvlar och så vidare till viskositet

— Lewis F. Richardson , 1922

Detta koncept spelar en viktig roll i studiet av välutvecklad turbulens . Det uttrycktes minnesvärt i denna dikt av Lewis F. Richardson på 1920-talet. Energikaskader är också viktiga för vindvågor i teorin om vågturbulens .

Tänk till exempel turbulens som genereras av luftflödet runt en hög byggnad: de energiinnehållande virvlarna som genereras av flödesseparering har storlekar i storleksordningen tiotals meter. Någonstans nedströms avledning genom viskositet , för det mesta, i virvlar på Kolmogorovs mikroskala : i storleksordningen en millimeter för det aktuella fallet. På dessa mellanliggande skalor finns det varken en direkt forcering av flödet eller en betydande mängd viskös avledning, men det sker en netto olinjär överföring av energi från de stora skalorna till de små skalorna.

Detta mellanliggande intervall av skalor, om det finns, kallas tröghetsunderområdet . Dynamiken på dessa skalor beskrivs genom användning av självlikhet , eller genom antaganden – för turbulensstängning – om de statistiska egenskaperna hos flödet i tröghetsunderområdet. Ett banbrytande arbete var Andrey Kolmogorovs slutledning på 1940-talet av det förväntade vågtalsspektrumet i turbulenströghetsunderområdet.

Spektra i tröghetsunderområdet för turbulent flöde

Schematisk illustration av produktion, energikaskad och förlust i energispektrumet av turbulens.

De största rörelserna, eller virvlarna, av turbulens innehåller det mesta av den kinetiska energin , medan de minsta virvlarna är ansvariga för den viskösa avledningen av turbulens kinetisk energi. Kolmogorov antog att när dessa skalor är väl åtskilda, skulle det mellanliggande längdskalorna vara statistiskt isotropa, och att dess egenskaper i jämvikt endast skulle bero på den hastighet med vilken kinetisk energi försvinner på de små skalorna. Dissipation är friktionsomvandlingen av mekanisk energi till termisk energi . Dissipationshastigheten, $\varepsilon$ , kan skrivas ner i termer av de fluktuerande töjningshastigheterna i det turbulenta flödet och vätskans kinematiska viskositet, v . Den har energidimensioner per massenhet per sekund. I jämvikt är produktionen av turbulens kinetisk energi vid stora rörelseskalor lika med förlusten av denna energi på små skalor.

Energispektrum av turbulens

Turbulensens energispektrum, E ( k ) , är relaterat till den kinetiska medelenergin för turbulens per massenhet som

${\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\ höger)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,$

där u _i är komponenterna i den fluktuerande hastigheten, överstrecket anger ett ensemblemedelvärde, summering över i antyds och k är vågnumret . Energispektrumet, E ( k ), representerar således bidraget till turbulens kinetisk energi av vågtal från k till k + d k . De största virvlarna har lågt vågtal och de små virvlarna har höga vågtal.

Eftersom diffusion går som hastighetens Laplacian , kan förlusthastigheten skrivas i termer av energispektrum som:

$\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,$

med ν vätskans kinematiska viskositet . Från denna ekvation kan det återigen observeras att förlusten huvudsakligen är associerad med höga vågtal (små virvlar) även om kinetisk energi huvudsakligen är förknippad med lägre vågtal (stora virvlar).

Energispektrum i tröghetsunderområdet

Överföringen av energi från de låga vågsiffrorna till de höga vågtalen är energikaskaden. Denna överföring för turbulens kinetisk energi från de stora skalorna till de små skalorna, vid vilken viskös friktion avleder den. I det mellanliggande intervallet av skalor, det så kallade tröghetsunderområdet, ledde Kolmogorovs hypoteser till följande universella form för energispektrumet:

$E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.$

En omfattande mängd experimentella bevis stöder detta resultat, över ett stort antal förhållanden. Experimentellt observeras värdet C = 1,5 .

Spektrum av tryckfluktuationer

Tryckfluktuationerna i ett turbulent flöde kan karakteriseras på liknande sätt. Medelkvadrattryckfluktuationen i ett turbulent flöde kan representeras av ett tryckspektrum, π ( k ):

${\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.$

För turbulens utan medelhastighetsgradient (isotrop turbulens) ges spektrumet i tröghetsunderområdet av

$\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3 },$

där ρ är vätskedensiteten och α = 1,32 C2 = 2,97 ^. En medelflödeshastighetsgradient ( skjuvflöde ) skapar ett ytterligare, additivt bidrag till tröghetsunderområdets tryckspektrum som varierar som k ^−11/3 ; men k ^−7/3 är dominant vid högre vågtal.

Spektrum av kapillärstörningar vid en fri vätskeyta

Tryckfluktuationer under den fria ytan av en vätska kan driva fluktuerande förskjutningar av vätskeytan. Denna interaktion mellan fri yta och turbulens kan också kännetecknas av ett vågnummerspektrum . Om δ är den momentana förskjutningen av ytan från dess genomsnittliga position, kan medelkvadratförskjutningen representeras med ett förskjutningsspektrum G ( k ) som:

${\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.$

En tredimensionell form av tryckspektrumet kan kombineras med Young–Laplace-ekvationen för att visa att:

$G(k)\propto k^{-19/3}.$

Experimentell observation av denna k ^−19/3 -lag har erhållits genom optiska mätningar av ytan av turbulenta fria vätskestrålar.

Anteckningar

•   Chorin, AJ (1994), Vorticity and turbulence , Applied Mathematical Sciences, vol. 103, Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Falkovich, G.; Sreenivasan, KR (2006), "Lessons from hydrodynamic turbulence", Physics Today , 59 (4): 43–49, Bibcode : 2006PhT....59d..43F , doi : 10.1063/1.2207037
•   Frisch, U. (1995), Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Newell, AC ; Rumpf, B. (2011), "Wave turbulence", Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (1): 59–78, Bibcode : 2011AnRFM..43...59N , doi : 10.1146/annurev-fluid-122109-1608
•   Richardson, LF (1922), Väderprognoser genom numerisk process , Cambridge University Press, OCLC 3494280

externa länkar

• G. Falkovich (red.). "Kaskad och skalning" . Scholarpedia .