M-matris

I matematik , särskilt linjär algebra , är en M -matris en Z -matris med egenvärden vars reella delar är icke-negativa. Mängden icke-singulära M -matriser är en delmängd av klassen P -matriser , och även av klassen av invers-positiva matriser (dvs matriser med inverser som tillhör klassen av positiva matriser ). Namnet M -matris till synes ursprungligen valdes av Alexander Ostrowski med hänvisning till Hermann Minkowski , som bevisade att om en Z-matris har alla sina radsummor positiva, så är determinanten för den matrisen positiv.

Karakteriseringar

En M-matris definieras vanligtvis enligt följande:

Definition: Låt A vara en n × n verklig Z-matris . Det vill säga, A = ( a _ij ) där a _ij ≤ 0 för alla i ≠ j , 1 ≤ i, j ≤ n . Då är matris A också en M-matris om den kan uttryckas i formen A = sI − B , där B = ( b _ij ) med b _ij ≥ 0 , för alla 1 ≤ i,j ≤ n , där s är vid minst lika stor som maximum av modulerna för egenvärdena för B , och I är en identitetsmatris.

För icke-singulariteten av A måste det enligt Perron–Frobenius-satsen vara så att s > ρ ( B ) . För en icke-singular M-matris måste de diagonala elementen a _ii av A vara positiva. Här kommer vi ytterligare att karakterisera endast klassen av icke-singulära M-matriser.

Många påståenden som är ekvivalenta med denna definition av icke-singular M-matriser är kända, och vilket som helst av dessa påståenden kan fungera som en startdefinition av en icke-singular M-matris. Till exempel listar Plemmons 40 sådana ekvivalenser. Dessa karaktäriseringar har kategoriserats av Plemmons i termer av deras relationer till egenskaperna för: (1) positivitet hos huvudmän, (2) omvänd positivitet och splittringar, (3) stabilitet och (4) semipositivitet och diagonal dominans. Det är vettigt att kategorisera egenskaperna på detta sätt eftersom påståendena inom en viss grupp är relaterade till varandra även när matris A är en godtycklig matris och inte nödvändigtvis en Z-matris. Här nämner vi några karaktäriseringar från varje kategori.

Ekvivalenser

Nedan betecknar ≥ den elementmässiga ordningen (inte den vanliga positiva halvdefinita ordningen på matriser). Det vill säga, för alla reella matriser A , B med storleken m × n , skriver vi A ≥ B (eller A > B ) om a _ij ≥ b _ij (eller a _ij > b _ij ) för alla i , j .

Låt A vara en n × n verklig Z-matris , då motsvarar följande påståenden att A är en icke-singular M-matris:

Primärårigas positivitet

• Alla de främsta minderåriga i A är positiva. Det vill säga, determinanten för varje submatris av A som erhålls genom att radera en uppsättning, möjligen tom, av motsvarande rader och kolumner i A är positiv.
• A + D är icke-singular för varje icke-negativ diagonal matris D .
• Varje verkligt egenvärde för A är positivt.
• Alla ledande minderåriga i A är positiva.
• Det finns nedre och övre triangulära matriser L respektive U , med positiva diagonaler, så att A = LU .

Omvänd positivitet och splittringar

• A är omvänt-positivt . Det vill säga, A ⁻¹ existerar och A ⁻¹ ≥ 0 .
• A är monotont . Det vill säga, Ax ≥ 0 innebär x ≥ 0 .
• A har en konvergent regelbunden delning . Det vill säga, A har en representation A = M − N , där M ⁻¹ ≥ 0, N ≥ 0 med M ⁻¹ N konvergent . Det vill säga ρ ( M ⁻¹ N ) < 1 .
• Det finns invers-positiva matriser M ₁ och M ₂ med M ₁ ≤ A ≤ M ₂ .
• Varje vanlig uppdelning av A är konvergent.

Stabilitet

• Det finns en positiv diagonal matris D så att AD + DA ^T är positiv definitiv.
• A är positivt stabilt . Det vill säga den reella delen av varje egenvärde av A är positiv.
• Det finns en symmetrisk positiv definitiv matris W så att AW + WA ^T är positiv definitiv.
• A + I är icke-singular, och G = ( A + I ) ⁻¹ ( A − I ) är konvergent.
• A + I är icke-singular, och för G = ( A + I ) ⁻¹ ( A − I ) , finns det en positiv definitiv symmetrisk matris W så att W − G ^T WG är positiv definitiv.

Semipositivitet och diagonal dominans

• A är semi-positiv . Det vill säga att det finns x > 0 med Ax > 0 .
• Det finns x ≥ 0 med Ax > 0 .
• Det finns en positiv diagonalmatris D så att AD har alla positiva radsummor.
• A har alla positiva diagonala element, och det finns en positiv diagonal matris D så att AD är strikt diagonalt dominant .
• A har alla positiva diagonala element, och det finns en positiv diagonal matris D så att D ⁻¹ AD är strikt diagonalt dominant.

Ansökningar

De primära bidragen till M-matristeorin har främst kommit från matematiker och ekonomer. M-matriser används i matematik för att fastställa gränser för egenvärden och för att fastställa konvergenskriterier för iterativa metoder för lösning av stora glesa system av linjära ekvationer . M-matriser uppstår naturligt i vissa diskretiseringar av differentialoperatorer , såsom Laplacian , och är som sådana väl studerade inom vetenskaplig beräkning. M-matriser förekommer också i studiet av lösningar på linjära komplementaritetsproblem . Linjära komplementaritetsproblem uppstår i linjär och kvadratisk programmering , beräkningsmekanik och i problemet med att hitta jämviktspunkten för ett bimatrisspel . Slutligen förekommer M-matriser i studien av ändliga Markov-kedjor inom området sannolikhetsteori och operationsforskning som köteori . Samtidigt har ekonomer studerat M-matriser i samband med bruttosubstitution, stabilitet i en allmän jämvikt och Leontiefs input-output-analys i ekonomiska system. Tillståndet för positivitet för alla primära minderåriga är också känt som Hawkins-Simon-tillståndet i ekonomisk litteratur. Inom teknik förekommer M-matriser också i problemen med Lyapunovs stabilitet och återkopplingskontroll i kontrollteori och är relaterad till Hurwitz-matrisen . Inom beräkningsbiologi förekommer M-matriser i studiet av populationsdynamik .

Se även

• A är en icke-singular svagt diagonalt dominant M-matris om och endast om det är en svagt kedjad diagonalt dominant L-matris .
• Om A är en M-matris så är −A en Metzler-matris .
• En icke-singular symmetrisk M -matris kallas ibland en Stieltjes-matris .
• Hurwitz matris
• P-matris
• Perron–Frobenius teorem
• Z-matris
• H-matris