Monotone matris

En verklig kvadratisk matris $A$ är monoton (i betydelsen Collatz) om för alla reella vektorer $v$ , $Av\geq 0$ innebär $v\ geq 0$ , där $\geq$ är den elementmässiga ordningen på $\mathbb {R} ^{n}$ .

Egenskaper

En monoton matris är icke-singular.

Bevis : Låt $A$ vara en monoton matris och anta att det finns $x\neq 0$ med $Ax=0$ . Sedan, genom monotoni, $x\geq 0$ och $-x\geq 0$ , och därmed $x=0$ . $\square$

Låt $A$ vara en riktig kvadratisk matris. $A$ är monoton om och endast om $A^{-1}\geq 0$ .

Bevis : Antag att $A$ är monoton. Beteckna med $x$ i $i$ :e kolumnen i $A^{-1}$ . Då är $Ax$ $i$ -:e standardbasisvektorn, och därmed $x\geq 0$ med monotoni. För den omvända riktningen, anta att $A$ tillåter en invers så att $A^{-1}\geq 0$ . Sedan, om $Ax\geq 0$ , $x=A^{-1}Ax\geq A^{-1}0=0$ , och därför är ${\displaystyle A} monoton.$ $\square$

Exempel

Matrisen ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)} är monoton,$ med invers $\ vänster({\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ . Faktum är att denna matris är en M-matris (dvs en monoton L-matris) .

Observera dock att inte alla monotona matriser är M-matriser. Ett exempel är ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&3\\2&-4\end{smallmatrix}}\right)} , vars invers$ är ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&3/2\\1&1/2\end{smallmatrix}}\right$ .

Se även