Mät teori gravitation

Gauge theory gravity ( GTG ) är en teori om gravitation gjuten i det matematiska språket för geometrisk algebra . För de som är bekanta med allmän relativitetsteori påminner den starkt om tetradformalismen även om det finns betydande begreppsmässiga skillnader. Framför allt är bakgrunden i GTG platt, Minkowski spacetime . Ekvivalensprincipen antas inte, utan följer istället av att gauge - kovariansderivatan är minimalt kopplad . Liksom i allmän relativitetsteori kan ekvationer som är strukturellt identiska med Einsteins fältekvationer härledas från en variationsprincip . En spintensor kan också stödjas på ett sätt som liknar Einstein-Cartan-Sciama-Kibble-teorin . GTG föreslogs först av Lasenby, Doran och Gull 1998 som en uppfyllelse av delresultat som presenterades 1993. Teorin har inte anammats i stor omfattning av resten av fysiksamhället, som mestadels har valt differentialgeometrimetoder som den för relaterad gravitationsteori .

Matematisk grund

Grunden för GTG kommer från två principer. För det första positionsmätarinvarians att godtyckliga lokala förskjutningar av fält inte påverkar det fysiska innehållet i fältekvationerna. För det andra rotationsmätarinvarians att godtyckliga lokala rotationer av fält inte påverkar det fysiska innehållet i fältekvationerna. Dessa principer leder till införandet av ett nytt par linjära funktioner, positionsmätarfältet och rotationsmätarfältet. En förskjutning med någon godtycklig funktion f

$x\mapsto x'=f(x)$

ger upphov till positionsmätarfältet definierat av mappningen på dess angränsande,

${\bar {\mathsf {h}}}(a, x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}(f^{-1}(a),f(x)),$

som är linjär i sitt första argument och a är en konstant vektor. På liknande sätt ger en rotation av någon godtycklig rötor R upphov till rotationsmätarfältet

${\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\ Omega }}}(a,x)R^{\dolk }-2a\cdot \nabla RR^{\dolk }.$

Vi kan definiera två olika kovarianta riktningsderivator

$a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\ tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))$

${\ displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a) )}$

eller med specifikation av ett koordinatsystem

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }$

${\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,$

där × anger kommutatorprodukten.

Den första av dessa derivat är bättre lämpad för att hantera direkt med spinorer medan den andra är bättre lämpad för observerbara . GTG-analogen till Riemann-tensorn är byggd från kommuteringsreglerna för dessa derivator.

$[D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R} }_{\mu \nu }\psi$

${\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R} }({\mathsf {h}}(a\kil b))$

Fältekvationer

Fältekvationerna härleds genom att postulera Einstein–Hilbert-handlingen styr mätfältens utveckling, dvs.

$S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.$

Minimering av variationen av verkan med avseende på de två mätfälten resulterar i fältekvationerna

${\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)$

${\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot { \bar {\mathsf {h}}}(a),$

där ${\mathcal {T}}$ är den kovarianta energi-momentumtensorn och ${\mathcal {S}}$ är den kovarianta spintensorn . Viktigt är att dessa ekvationer inte ger en utvecklande krökning av rumtiden utan snarare bara ger utvecklingen av mätfälten inom den platta rymdtiden.

Relation till allmän relativitet

För de som är mer bekanta med allmän relativitet är det möjligt att definiera en metrisk tensor från positionsmätarfältet på ett sätt som liknar tetrads. I tetradformalismen introduceras en uppsättning av fyra vektorer ${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}.$ Det grekiska indexet μ höjs eller sänks genom att multiplicera och dra ihop sig med rumtidens metriska tensor. Det parentetiska latinska indexet (a) är en etikett för var och en av de fyra tetraderna, som höjs och sänks som om den multiplicerades och kontraherades med en separat Minkowski metrisk tensor. GTG vänder grovt sett om på rollerna för dessa index. Metriken antas implicit vara Minkowski i valet av rumtidsalgebra . Informationen i den andra uppsättningen av index inordnas av beteendet hos mätfälten.

Vi kan göra föreningarna

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })} g$

$\ displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

för en kovariant vektor och kontravariant vektor i en krökt rumtid, där nu enhetsvektorerna $\{e_{\mu }\}$ är den valda koordinatbasen. Dessa kan definiera måttet med hjälp av regeln

$g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.$

Efter denna procedur är det möjligt att visa att de observerbara förutsägelserna av GTG till största delen överensstämmer med Einstein-Cartan-Sciama-Kibble-teorin för icke-försvinnande spinn och reduceras till allmän relativitet för försvinnande spin. GTG gör dock olika förutsägelser om globala lösningar. Till exempel, i studien av en punktmassa, ger valet av en "Newtonsk mätare" en lösning som liknar Schwarzschild-metriken i Gullstrand–Painlevé-koordinaterna . Allmän relativitetsteori tillåter en förlängning som kallas Kruskal-Szekeres-koordinaterna . GTG, å andra sidan, förbjuder någon sådan förlängning.

externa länkar

• David Hestenes: Rumtidskalkyl för gravitationsteori – en redogörelse för den matematiska formalismen som uttryckligen riktas till GTG