Loewy nedbrytning

I studien av differentialekvationer bryter Loewy -sönderdelningen upp varje linjär vanlig differentialekvation (ODE) till vad som kallas största fullständigt reducerbara komponenter. Den introducerades av Alfred Loewy .

Att lösa differentialekvationer är ett av de viktigaste delområdena inom matematik . Av särskilt intresse är lösningar i sluten form . Att bryta upp ODEs i de största irreducerbara komponenterna minskar processen för att lösa den ursprungliga ekvationen till att lösa irreducerbara ekvationer av lägsta möjliga ordning. Denna procedur är algoritmisk , så att det bästa möjliga svaret för att lösa en reducerbar ekvation garanteras. En detaljerad diskussion kan hittas i.

Loewys resultat har utökats till linjära partiella differentialekvationer (PDE) i två oberoende variabler. På detta sätt har algoritmiska metoder för att lösa stora klasser av linjära PDE:er blivit tillgängliga.

Nedbrytning av linjära vanliga differentialekvationer

Låt ${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$ beteckna derivatan med avseende på variabeln $x$ . En differentialoperator av ordningen $n$ är ett polynom av formen

$$L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_ {n-1}D+a_{n}$$

där koefficienterna $a_{i}$ , $i=1,\ldots ,n$ är från något funktionsfält, basfältet för L $\displaystyle L}$ . Vanligtvis är det fältet för rationella funktioner i variabeln $x$ , dvs $a_{i}\in \mathbb {Q} (x)$ . Om $y$ är en obestämd med ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}\neq 0} ,$ blir $Ly$ ett differentialpolynom, och $Ly=0$ är differentialekvationen som motsvarar $L$ .

En operator $L$ av ordningen $n$ kallas reducerbar om den kan representeras som produkten av två operatorer $L_{1}$ och $L_{2}$ , båda av ordningen lägre än $n$ . Då skriver man $L=L_{1}L_{2}$ , dvs juxtaposition betyder operatorprodukten, den definieras av regeln ${\ displaystyle Da_{i}=a_{i}D+a_{i}'}$ ; $L_{1}$ kallas en vänsterfaktor av $L$ , $L_{2}$ en högerfaktor. Som standard antas koefficientdomänen för faktorerna vara basfältet för $L$ , möjligen utökat med några algebraiska tal , dvs ${\bar {\mathbb {Q} } }(x)$ är tillåtet. Om en operatör inte tillåter någon rätt faktor kallas den irreducerbar .

För två valfria operatorer $L_{1}$ och $L_{2}$ den minsta vanliga vänstermultipeln $\operatorname {Lclm} (L_{ 1},L_{2})$ är operatorn av lägsta ordningen så att både $L_{1}$ och $L_{2}$ delar den från höger. Den största gemensamma högerdelaren $\operatorname {Gcrd} (L_{1},L_{2})$ är operatorn av högsta ordningen som delar både $L_{ 1}$ och $L_{2}$ från höger. Om en operator kan representeras som $\operatornamn {Lclm}$ av irreducerbara operatorer kallas den helt reducerbar . Per definition kallas en irreducerbar operator helt reducerbar.

Om en operator inte är fullständigt reducerbar delas $\operatorname {Lclm}$ av dess irreducerbara högra faktorer upp och samma procedur upprepas med kvoten . På grund av sänkningen av ordningen i varje steg, avslutas detta förfarande efter ett ändligt antal iterationer och den önskade nedbrytningen erhålls. Baserat på dessa överväganden fick Loewy följande grundläggande resultat.

Sats 1 (Loewy 1906) — Låt ${\textstil D={\frac {d}{dx}}}$ vara en derivata och $a_{i}\in \ mathbb {Q} (x)$ . En differentialoperatör

$$L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_ {n-1}D+a_{n}$$

av ordningen $n$ kan skrivas unikt som produkten av helt reducerbara faktorer $L_{k}^{(d_{k})}$ av maximal ordning $d_{k}$ över $\mathbb {Q} (x)$ i formen

$$L=L_{m}^{(d_{m})}L_{m-1}^ {(d_{m-1})}\ldots L_{1}^{(d_{1})}$$

med $d_{1}+\ldots +d_{m}=n$ . Faktorerna $L_{k}^{(d_{k})}$ är unika. Vilken faktor som helst $L_{k}^{(d_{k})}$ , $k=1,\ldots ,m$ kan skrivas som

$$L_{k}^{(d_{k} )}=\operatörsnamn {Lclm} \left(l_{j_{1}}^{(e_{1})},l_{j_{2}}^{(e_{2})},\ldots ,l_{ j_{k}}^{(e_{k})}\right)$$

med $e_{1}+e_{2}+\dots +e_{k}=d_{k}$ ; $l_{j_{i}}^{(e_{i})}$ för $i=1,\ldots ,k$ , betecknar en irreducible operator of order $e_{i}$ över $\mathbb {Q} (x)$ .

Nedbrytningen som bestäms i denna sats kallas Loewy-nedbrytningen av $L$ . Den ger en detaljerad beskrivning av funktionsutrymmet som innehåller lösningen av en reducerbar linjär differentialekvation $Ly=0$ .

För operatörer av fast ordning kan de möjliga Loewy-nedbrytningarna, som skiljer sig med antalet och ordningen av faktorer, anges explicit; några av faktorerna kan innehålla parametrar. Varje alternativ kallas en typ av Loewy-nedbrytning . Det fullständiga svaret för $n=2$ beskrivs i det följande resultatet av ovanstående sats.

Resultat 1 Låt $L$ vara en andra ordningens operator. Dess möjliga Loewy-nedbrytningar betecknas med ${\mathcal {L}}_{0}^{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{3}^{ 2}$ kan de beskrivas enligt följande; $l^{(i)}$ och $l_{j}^{(i)}$ är irreducerbara operatorer av ordningen $i$ ; $C$ är en konstant.

$${\begin{aligned}&{\mathcal {L}}_{1}^{2}:L=l_{2}^{(1)}l_{1}^{(1)};\ \&{\mathcal {L}}_{2}^{2}:L=\operatörsnamn {Lclm} \left(l_{2}^{(1)},l_{1}^{(1)}\ höger);\\&{\mathcal {L}}_{3}^{2}:L=\operatörsnamn {Lclm} \left(l^{(1)}(C)\right).\end{aligned }}$$

Nedbrytningstypen för en operator är nedbrytningen ${\mathcal {L}}_{i}^{2}$ med det högsta värdet av $i$ . En irreducerbar andra ordningens operator definieras för att ha nedbrytningstyp ${\mathcal {L}}_{0}^{2}$ .

Nedbrytningarna ${\mathcal {L}}_{0}^{2}$ , ${\mathcal {L}}_{2}^{2}$ och ${\mathcal {L}}_{3}^{2}$ är helt reducerbara.

Om en sönderdelning av typ ${\mathcal {L}}_{i}^{2}$ , har $i=1,2$ eller $3$ erhållits för en andra ordningens ekvation $Ly=0$ , kan ett fundamentalt system ges explicit.

Resultat 2 Låt $L$ vara en andra ordningens differentialoperator, ${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$ , $y$ en differential obestämd, och $a_{i}\in \mathbb {Q} (x)$ . Definiera ${\textstyle \varepsilon _{i}(x)\equiv \exp {\left(-\int a_{i}\,dx\right) }}$ för $i=1,2$ och ${\textstyle \varepsilon (x,C)\equiv \ exp {\left(-\int a(C)\,dx\right)}}$ , $C$ är en parameter ; de spärrade kvantiteterna ${\bar {C}}$ och ${\bar {\bar {C}}}$ är godtyckliga tal, ${\ bar {C}}\neq {\bar {\bar {C}}}$ . För de tre icke-triviala uppdelningarna av Corollary 1 erhålls följande element $y_{1}$ och ${\displaystyle y_{2}} av ett fundamentalt system.$

$${\mathcal {L}}_{1}^{2}:Ly=(D+a_{2})(D+a_{1})y=0;$$

$$y_{1}=\varepsilon _{1}(x),\quad y_{2}=\varepsilon _{1}(x)\int {\frac {\varepsilon _{2}(x)} {\varepsilon _{1}(x)}}\,dx.$$

$${\mathcal {L}}_{2}^{2}:Ly=\operatörsnamn {Lclm} (D+a_{2},D+a_{1})y=0;$$

$$y_{i}=\varepsilon _{i}(x);$$

$a_{1}$ motsvarar inte $a_{2}$ .

$${\mathcal {L}}_{3}^{2}:Ly=\operatörsnamn {Lclm} (D+a(C))y=0;$$

$$y_{1}=\varepsilon (x,{\bar {C}})$$

$$y_{2}=\varepsilon (x,{\bar {\bar {C}}}).$$

kallas två rationella funktioner $p,q\in \mathbb {Q} (x)$ ekvivalenta om det finns en annan rationell funktion $r\in \mathbb {Q} (x)$ så att

$$pq={\frac {r'}{r}}.$$

Det återstår frågan hur man får en faktorisering för en given ekvation eller operator. Det visar sig att för att hitta linjära oder handlar faktorerna om att bestämma rationella lösningar av Riccati-ekvationer eller linjära oder; båda kan bestämmas algoritmiskt. De två exemplen nedan visar hur ovanstående konsekvens tillämpas.

Exempel 1 Ekvation 2.201 från Kamkes samling. har ${\mathcal {L}}_{2}^{2}$ nedbrytning

$$y''+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)y'-{\frac {4}{x^{2}}}y=\ operatornamn {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}},D+ 2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}\right)y=0.$$

Koefficienterna ${\textstyle a_{1}=2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3} {2}}}}}$ och ${\textstyle a_{2}={\frac {2}{x}}-{\frac {2x -2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}}}$ är rationella lösningar av Riccati-ekvationen ${\ textstil a'-a^{2}+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)+{\frac {4}{x^{2}}}=0} , de$ ger grundläggande system

$$y_{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3x}}+{\frac {1} {x^{2}}},$$

$$y_{2}={\frac {2}{x}}+{\frac {3}{x^{2}}}e^{-2x}.$$

Exempel 2 En ekvation med en typ ${\mathcal {L}}_{3}^{2}$ uppdelning är

$$y''-{\frac {6}{x^{2}}}y =\operatörsnamn {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {5x^{4}}{x^{5}+C}}\right)y=0.$$

Koefficienten för första ordningens faktor är den rationella lösningen av ${\textstyle a'-a^{2}+{\frac {6}{x^{2}}}= 0}$ . Efter integrering grundsystemet ${\textstyle y_{1}=x^{3}}$ och ${\textstyle y_{2}={\frac {1}{x^{2 }}}}$ för $C=0$ och $C\to \infty$ respektive erhålls.

Dessa resultat visar att faktorisering tillhandahåller ett algoritmiskt schema för att lösa reducerbara linjära oder. Närhelst en ekvation av ordning 2 faktoriseras enligt en av de ovan definierade typerna är elementen i ett fundamentalt system explicit kända, dvs faktorisering är ekvivalent med att lösa det.

Ett liknande schema kan sättas upp för linjära oder av vilken ordning som helst, även om antalet alternativ växer avsevärt med ordningen; för ordning $n=3$ ges svaret i detalj i.

Om en ekvation är irreducerbar kan det förekomma att dess Galois-grupp är icke-trivial, då kan det finnas algebraiska lösningar. Om Galois-gruppen är trivial kan det vara möjligt att uttrycka lösningarna i termer av specialfunktioner som t.ex. Bessel- eller Legendre-funktioner , se eller.

Grundfakta från differentialalgebra

För att generalisera Loewys resultat till linjära PDE:er är det nödvändigt att tillämpa den mer allmänna inställningen av differentialalgebra . Därför ges härnäst några grundläggande begrepp som krävs för detta ändamål.

Ett fält ${\mathcal {F}}$ kallas ett differentialfält om det är utrustat med en härledningsoperator . En operator $\delta$ på ett fält ${\mathcal {F}}$ kallas en derivationsoperator om $\ delta (a+b)=\delta (a)+\delta (b)$ och $\delta (ab)=\delta (a )b+a\delta (b)$ för alla element $a,b\in {\mathcal {F}}$ . Ett fält med en enkel härledningsoperator kallas ett vanligt differentialfält ; om det finns en finit uppsättning som innehåller flera pendlingsderivationsoperatorer kallas fältet ett partiellt differentialfält .

Här differentialoperatorer med derivator ${\textstil \partial _{x}={\frac {\partial }{\partial x}}} och$ ∂ $\textstyle \partial _{y }={\frac {\partial }{\partial y}}}$ med koefficienter från något differentialfält beaktas. Dess element har formen ${\textstyle \sum _{i,j}r_{i,j}(x,y)\partial _{ x}^{i}\partial _{y}^{j}}$ ; nästan alla koefficienter $r_{i,j}$ är noll. Koefficientfältet kallas basfältet . Om konstruktiva och algoritmiska metoder är huvudfrågan är det $\mathbb {Q} (x,y)$ . Respektive ring av differentialoperatorer betecknas med ${\mathcal {D}}=\mathbb {Q} (x,y)[\partial _{ x},\partial _{y}]$ eller ${\mathcal {D}}={\mathcal {F}}[\partial _{x},\partial _{y}]$ . Ringen ${\mathcal {D}}$ är icke-kommutativ, ${\textstyle \partial _{x}a=a\partial _{x}+ {\frac {\partial a}{\partial x}}}$ och liknande för de andra variablerna; $a$ är från basfältet.

För en operator ${\textstil L=\summa _{i+j\leq n}r_{i,j}(x ,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$ av ordning $n$ symbolen för L är den homogena algebraiska ${\textstil \operatörsnamn {symb} (L)\equiv \summa _{i+j=n}r_{i,j}(x,y) X^{i}Y^{j}}$ där $X$ och $Y$ algebraisk är obestämd.

Låt $I$ vara ett vänsterideal som genereras av ${\displaystyle l_{i}\in {\mathcal {D}}} ,$ i $\displaystyle i=1 ,\ldots ,p}$ . Då skriver man $I=\langle l_{1},\ldots ,l_{p}\rangle$ . Eftersom rätt ideal inte beaktas här, ibland kallas ${\displaystyle I} helt enkelt ett ideal.$

Relationen mellan vänsterideal i ${\mathcal {D}}$ och system med linjära PDE:er etableras enligt följande. Elementen $l_{i}\in {\mathcal {D}}$ tillämpas på en enda differential obestämd $z$ . På detta sätt motsvarar det ideala $I=\langle l_{1},l_{2},\ldots \rangle$ systemet med PDE ${\ displaystyle l_{1}z=0}$ , $l_{2}z=0,\ldots$ för den enskilda funktionen $z$ .

Generatorerna av ett ideal är mycket icke-unika; dess medlemmar kan omvandlas på oändligt många sätt genom att ta linjära kombinationer av dem eller dess derivator utan att ändra idealet. Därför introducerade M. Janet en normal form för system med linjära PDE:er (se Janet basis ). De är differentialanalogen till Gröbner-baserna av kommutativ algebra (som ursprungligen introducerades av Bruno Buchberger) ; därför kallas de också ibland för differentiell Gröbnerbas .

För att generera en Janet-bas måste en rangordning av derivat definieras. Det är en total ordning så att för alla derivator $\delta$ , $\delta _{1}$ och $\delta _{2}$ och valfri derivationsoperator ${ \displaystyle \theta }$ relationerna $\delta \preceq \theta \delta$ , och $\delta _{1}\prece delta _{2}\högerpil \delta \delta _{1}\preceq \delta \delta _{2}$ är giltiga. Här tillämpas graderade lexikografiska termordningar ${\displaystyle grlex} .$ För partiella derivator av en enda funktion är deras definition analog med de monomiala ordningarna i kommutativ algebra . S-paren i kommutativ algebra motsvarar integreringsvillkoren.

Om det är säkerställt att generatorerna $l_{1},\ldots ,l_{p}$ av ett ideal $I$ bildar en Janet-bas är notationen $I={{\big \langle }{\big \langle }}l_{1},\ldots ,l_{p}{{\big \rangle }{\big \ rangle }}$ tillämpas.

Exempel 3 Betrakta idealet

$$I={\Big \langle }l_{1}\equiv \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-{\frac {y} {x(x+y)}}\partial _{y},\;l_{2}\equiv \partial _{xy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}, \;l_{3}\equiv \partial _{yy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}{\Big \rangle }$$

in $grlex$ termordning med $x\succ y$ . Dess generatorer är autoreducerade. Om integreringsvillkoret

$$l_{1,y}=l_ {2,x}-l_{2,y}={\frac {y+2x}{x(x+y)}}\partial _{xy}+{\frac {y}{x(x+y) }}\partial _{åå}$$

reduceras med avseende på ${\displaystyle I} ,$ erhålls den nya generatorn ${\displaystyle \partial _{y}} .$ Lägger man till det till generatorerna och utför alla möjliga reduktioner, representeras det givna idealet som ${\textstyle I=\left\langle \left\langle \partial _ {xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x},\partial _{y}\right\rangle \right\rangle }$ . Dess generatorer är autoreducerade och det enda integrerbarhetsvillkoret är uppfyllt, dvs de utgör en Janet-bas.

Givet varje ideal $I$ kan det förekomma att det är korrekt inkluderat i något större ideal $J$ med koefficienter i basfältet för $I$ ; då kallas ${\displaystyle J} en$ divisor av $I$ . I allmänhet behöver inte en divisor i en ring av partiella differentialoperatorer vara principiell.

Den största gemensamma högra divisorn (Gcrd) eller summan av två ideal $I$ och $J$ är det minsta idealet med egenskapen att både $I$ och $J$ finns i det. Om de har representationen $I\equiv \langle f_{1},\ldots ,f_{p}\rangle$ och ${\displaystyle J\equiv \langle g_{1},\ldots ,g_{q}\rangle ,} f i {\$${i}}$ , $g_{j}\in {\mathcal {D}}$ för alla $i$ och $j$ genereras summan av föreningen av generatorerna av $I$ och $J$ . Lösningsrummet för ekvationerna som motsvarar $\operatorname {Gcrd} (I,J)$ är skärningspunkten mellan lösningsutrymmena för dess argument.

Den minsta vanliga vänstermultipeln (Lclm) eller vänster skärningspunkt av två ideal $I$ och $J$ är det största idealet med egenskapen att det finns både i $I$ och ${\ displaystil J}$ . Lösningsutrymmet för $\operatornamn {Lclm} (I,J)z=0$ är det minsta utrymmet som innehåller lösningsutrymmena för dess argument.

En speciell sorts divisor är den så kallade Laplace-divisorn för en given operator ${\displaystyle L} ,$ sidan 34. Den definieras enligt följande.

Definition Låt $L$ vara en partiell differentialoperator i planet; definiera

$${\mathfrak {l}}_{m}\equiv \partial _{x^{m} }+a_{m-1}\partial _{x^{m-1}}+\dots +a_{1}\partial _{x}+a_{0}$$

och

$${\mathfrak {k}}_{n}\equiv \partial _{y^{n} }+b_{n-1}\partial _{y^{n-1}}+\dots +b_{1}\partial _{y}+b_{0}$$

vara vanliga differentialoperatorer med avseende på $x$ eller $y$ ; $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ för alla i; $m$ och $n$ är naturliga tal som inte är mindre än 2. Antag koefficienterna $a_{i}$ , $i=0, \ldots ,m-1$ är sådana att $L$ och ${\mathfrak {l}}_{m}$ bildar en Janet-bas. Om $m$ är det minsta heltal med denna egenskap så är $\mathbb {L} _{x^{m}}(L)\ equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {l}}_{m}{\rangle \rangle }$ kallas en Laplace-delare av $L$ . På liknande sätt, om $b_{j}$ , $j=0,\ldots ,n-1$ är sådana att $L$ och ${\ displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}}$ bildar en Janet-bas och $n$ är minimal, då ${\displaystyle \mathbb {L } _{y^{n}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {k}}_{n}{\rangle \rangle }} kallas också en Laplace$ divisor av L $\ displaystil L}$ .

För att en Laplace-delare ska existera måste koefficienterna för en operator $L$ följa vissa begränsningar. En algoritm för att bestämma en övre gräns för en Laplace-delare är inte känd för närvarande, därför kan existensen av en Laplace-delare i allmänhet vara obestämbar.

Nedbrytning av andra ordningens linjära partiella differentialekvationer i planet

Genom att tillämpa ovanstående begrepp kan Loewys teori generaliseras till linjära PDE. Här tillämpas den på individuella linjära PDE:er av andra ordningen i planet med koordinaterna $x$ och $y$ och de huvudsakliga idealen genererade av motsvarande operatorer.

Andra ordningens ekvationer har övervägts mycket i litteraturen på 1800-talet. Vanligtvis särskiljs ekvationer med ledande derivator $\partial _{xx}$ eller ${\displaystyle \partial _{xy}} .$ Deras allmänna lösningar innehåller inte bara konstanter utan obestämda funktioner av varierande antal argument; att fastställa dem är en del av lösningsproceduren. För ekvationer med ledande derivata $\partial _{xx}$ kan Loewys resultat generaliseras enligt följande.

Sats 2 Låt differentialoperatorn $L$ definieras av

$$L\equiv \partial _{xx}+A_{1}\partial _ {xy}+A_{2}\partial _{yy}+A_{3}\partial _{x}+A_{4}\partial _{y}+A_{5}$$

där $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ för alla $i$ .

Låt $l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}$ för $i=1$ och $i=2$ , och $l(\Phi )\equiv \partial _{ x}+a\partial _{y}+b(\Phi )$ vara första ordningens operatorer med $a_{i},b_{i}, a\in \mathbb {Q} (x,y)$ ; $\Phi$ är en obestämd funktion av ett enda argument. Då $L$ en Loewy-nedbrytning enligt en av följande typer.

• ${\mathcal {L}}_{xx}^{1}:L=l_{2}l_{1};$
• ${\mathcal {L}}_{xx}^{2}:L=\operatörsnamn {Lclm} (l_{2},l_{1});$
• ${\mathcal {L}}_{xx}^{3}:L=\operatörsnamn {Lclm} (l(\Phi )).$

Nedbrytningstypen för en operator $L$ är nedbrytningen ${\mathcal {L}}_{xx}^{i}$ med det högsta värdet av $i$ . Om $L$ inte har någon första ordningens faktor i basfältet, definieras dess nedbrytningstyp till ${\mathcal {L}}_{xx}^{0}$ . Nedbrytningar ${\mathcal {L}}_{xx}^{0}$ , ${\mathcal {L}}_{xx}^{2}$ och ${\mathcal {L}}_{xx}^{3}$ är helt reducerbara.

För att tillämpa detta resultat för att lösa en given differentialekvation som involverar operatorn $L$ uppstår frågan om dess första ordningens faktorer kan bestämmas algoritmiskt. Den efterföljande följden ger svaret för faktorer med koefficienter antingen i basfältet eller en universell fältförlängning.

Resultat 3 I allmänhet kan första ordningens högra faktorer för en linjär pde i basfältet inte bestämmas algoritmiskt. Om symbolpolynomet är separerbart kan vilken faktor som helst bestämmas. Om den har en dubbelrot i allmänhet är det inte möjligt att bestämma rätt faktorer i basfältet. Förekomsten av faktorer i ett universellt område, dvs absolut irreducerbarhet, kan alltid avgöras.

Ovanstående sats kan användas för att lösa reducerbara ekvationer i sluten form. Eftersom det bara finns huvuddelare inblandade är svaret liknande som för vanliga andra ordningens ekvationer.

Proposition 1 Låt en reducerbar andra ordningens ekvation

$$Lz\equiv z_{xx}+A_{1}z_{ xy}+A_{2}z_{yy}+A_{3}z_{x}+A_{4}z_{y}+A_{5}z=0$$

där $A_{1},\ldots ,A_{5}\in \mathbb {Q} (x,y)$ .

Definiera $l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}$ , $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ för $i=1,2$ ; $\varphi _{i}(x,y)=\mathrm {const}$ är en rationell första integral av ${\frac {dy}{dx}}=a_{i}(x,y)$ ; ${\bar {y}}\equiv \varphi _{i}(x,y)$ och inversen $y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})$ ; både $\varphi _{i}$ och $\psi _{i}$ antas existera. Dessutom definiera

$${\mathcal {E}}_{i}(x,y)\equiv \left.\exp \left(-\int b_{i}(x,y) ){\big |}_{y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}dx\right)\right|_{{\bar {y}}=\varphi _{i }(x,y)}$$

för $i=1,2$ .

Ett differentiellt fundamentalt system har följande struktur för de olika nedbrytningarna till första ordningens komponenter.

$${\mathcal {L}}_{xx}^{1}:z_{1} (x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y)F_{1}(\varphi _{1}),$$

$$z_{2}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y){\displaystyle \int }{\frac {{\mathcal {E}}_{2} (x,y)}{{\mathcal {E}}_{1}(x,y)}}F_{2}{\big (}\varphi _{2}(x,y){\big )} {\big |}_{y=\psi _{1}(x,{\bar {y}})}dx{\Big |}_{{\bar {y}}=\varphi _{1}( x,y)};$$

$${\mathcal {L}}_{xx}^{2}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{ \big (}\varphi _{i}(x,y){\big )},i=1,2;$$

$${\mathcal {L}}_{xx }^{3}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi (x,y){\ stor )},i=1,2.$$

F $\displaystyle F_{i}}$ är obestämda funktioner för ett enda argument; $\varphi$ , $\varphi _{1}$ och $\varphi _{2}$ är rationella i alla argument; $\psi _{1}$ antas existera. I allmänhet $\varphi _{1}\neq \varphi _{2}$ bestäms de av koefficienterna ${\displaystyle A_{1}} ,$ A $\displaystyle A_{ 2}}$ och $A_{3}$ i den givna ekvationen.

Ett typiskt exempel på en linjär pde där faktorisering gäller är en ekvation som har diskuterats av Forsyth, vol. VI, sida 16,

Exempel 5 (Forsyth 1906) Betrakta differentialekvationen ${\textstil z_{xx}-z_{yy}+{\frac {4}{x+y}} z_{x}=0}$ . Vid faktorisering representationen

$$Lz\equiv l_{2}l_{1}z =\left(\partial _{x}+\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)\left(\partial _{x}-\partial _{y}+ {\frac {2}{x+y}}\right)z=0$$

erhålles. Där följer

$$\varphi _{ 1}(x,y)=x+y,\psi _{1}(x,y)={\bar {y}}-x,{\mathcal {E}}_{1}(x,y) =\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)},$$

$$\varphi _{2}(x,y)=xy,\psi _{2}(x,y)=x-{\bar {y}},{\mathcal {E}}_{2} (x,y)=-{\frac {1}{x+y}}.$$

Följaktligen är ett differentiellt fundamentalt system

$$z_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{ x+y}}\right)}F(x+y),$$

$$z_{2}(x,y)={\frac {1}{x+y}}\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}\int \ exp {\left({\frac {2x-{\bar {y}}}{\bar {y}}}\right)}G(2x-{\bar {y}})dx{\Big |}_ {{\bar {y}}=x+y}.$$

$F$ och $G$ är obestämda funktioner.

Om den enda andra ordningens derivatan av en operator är $\partial _{xy}$ , kan dess möjliga uppdelningar som endast involverar huvuddelare beskrivas enligt följande.

Sats 3 Låt differentialoperatorn $L$ definieras av

$$L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{ y}+A_{3}$$

där $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ för alla $i$ .

Låt $l\equiv \partial _{x}+A_{2}$ och $k\equiv \partial _{y}+A_{1 }$ är första ordningens operatorer. $L$ har Loewy-uppdelningar som involverar första ordningens huvuddelare av följande form.

• ${\mathcal {L}}_{xy}^{1}:L=kl;$
• ${\mathcal {L}}_{xy}^{2}:L=lk;$
• ${\mathcal {L}}_{xy}^{3}:L=\operatörsnamn {Lclm} (k,l).$

Nedbrytningstypen för en operator $L$ är nedbrytningen ${\mathcal {L}}_{xy}^{i}$ med högsta värdet $i$ . Nedbrytningen av typ ${\mathcal {L}}_{xy}^{3}$ är helt reducerbar

Dessutom finns det ytterligare fem möjliga nedbrytningstyper som involverar icke-huvudsakliga Laplace-delare som visas härnäst.

Sats 4 Låt differentialoperatorn $L$ definieras av

$$L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{ y}+A_{3}$$

där $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ för alla $i$ .

$\mathbb {L} _{x^{m}}(L)$ och $\mathbb {L} _{y^{n}}( L)$ såväl som ${\mathfrak {l}}_{m}$ och ${\mathfrak {k}}_{n}$ definieras ovan; vidare $l\equiv \partial _{x}+a$ , $k\equiv \partial _{y}+b$ , $a,b\in \mathbb {Q} (x,y)$ . $L$ har Loewy-nedbrytningar som involverar Laplace-delare enligt en av följande typer; $m$ och $n$ lyder $m,n\geq 2$ .

$${\mathcal {L}}_{xy}^{4}:L=\operatörsnamn {Lclm} \left(\mathbb {L} _{x^{m}}(L),\mathbb {L } _{y^{n}}(L)\höger);$$

$${\mathcal {L}}_{xy}^{5}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){\big )} \mathbb {L} _{x^{m}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{y}+A_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} L\\{\mathfrak {l}}_{m}\end{pmatrix}};$$

$${\mathcal {L}}_{xy}^{6}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){\big )} \mathbb {L} _{y^{n}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{x}+A_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} L\\{\mathfrak {k}}_{n}\end{pmatrix}};$$

$${\mathcal {L}}_{xy}^{7}:L=\operatörsnamn {Lclm} {\big (}k,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){ \big )};$$

$${\mathcal {L}}_{xy}^{8}:L=\operatörsnamn {Lclm} {\big (}l,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){ \big )}.$$

Om $L$ inte har en första ordningens högerfaktor och det kan visas att en Laplace-delare inte finns definieras dess nedbrytningstyp till ${\mathcal {L}}_{xy }^{0}$ . Nedbrytningarna ${\mathcal {L}}_{xy}^{0}$ , ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$ , ${\mathcal {L}}_{xy}^{7}$ och ${\mathcal {L}}_{xy}^{8}$ är helt reducerbara.

En ekvation som inte tillåter en sönderdelning som involverar huvuddelare men som är helt reducerbar med avseende på icke-huvuddelare av Laplace av typen ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$ har blivit anses av Forsyth.

Exempel 6 (Forsyth 1906) Definiera

$$L\equiv \partial _{xy}+{\frac {2}{xy} }\partial _{x}v-{\frac {2}{xy}}\partial _{y}-{\frac {4}{(xy)^{2}}}$$

genererar huvudidealet $\langle L\rangle$ . En första ordningens faktor existerar inte. Det finns dock Laplace-delare

$$\mathbb {L} _{x^{2}}(L) \equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}\partial _{xx}-{\frac {2}{xy}}\partial _{x}+{\frac {2}{(xy) ^{2}}},L{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}$$

och

$$\mathbb {L} _{y^{2}}(L)\equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}L,\partial _{yy}+{\frac {2} {xy}}\partial _{y}+{\frac {2}{(xy)^{2}}}{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}.$$

Idealet som genereras av $L$ har representationen ${\displaystyle \langle L\rangle =\operatörsnamn {Lclm} {\ big (}\mathbb {L} _{x^{2}}(L),\mathbb {L} _{y^{2}}(L){\big )}} , dvs den är helt reducerbar$ ; dess nedbrytningstyp är ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$ . Därför har ekvationen $\displaystyle Lz=0}$ det differentiella fundamentala systemet

$$z_{1}(x,y)=2(xy)F(y) )+(xy)^{2}F'(y)$$

och

$$z_{2}(x,y)=2(yx)G(x)+(yx)^{2}G'(x).$$

Nedbrytning av linjära PDE av ordning högre än 2

Det visar sig att operatörer av högre ordning har mer komplicerade nedbrytningar och det finns fler alternativ, många av dem i termer av icke-huvuddelare. Lösningarna av motsvarande ekvationer blir mer komplexa. För ekvationer av ordning tre i planet kan ett ganska fullständigt svar hittas i. Ett typiskt exempel på en tredje ordningens ekvation som också är av historiskt intresse beror på Blumberg.

Exempel 7 (Blumberg 1912) I sin avhandling betraktade Blumberg den tredje ordningens operatör

$$L\equiv \partial _{xxx}+x\partial _{xxy}+2\partial _{xx}+2(x+1)\partial _{xy}+\partial _{x}+( x+2)\partial _{y}.$$

Den tillåter de två första ordningens faktorerna $l_{1}\equiv \partial _{x}+1$ och $l_{2} \equiv \partial _{x}+x\partial _{y}$ . Deras korsning är inte huvudsaklig; definierande

$${\ displaystyle L_{1}\equiv \partial _{xxx}-x^{2}\partial _{xyy}+3\partial _{xx}+(2x+3)\partial _{xy}-x^{2 }\partial _{yy}+2\partial _{x}+(2x+3)\partial _{y}}$$

$$L_{2}\equiv \partial _{xxy}+x\partial _{xyy}-{\frac {1}{x}}\partial _{xx}-{\frac {1}{x} }\partial _{xy}+x\partial _{y}y-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-\left(1+{\frac {1}{x}}\ höger)\partial _{y}{{\big \rangle }{\big \rangle }}.$$

det kan skrivas som $\operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1})={\langle \langle } L_{1},L_{2}{\rangle \rangle }$ . Följaktligen är Loewy-nedbrytningen av Blumbergs operatör

$$L={\begin{pmatrix}1&x\\0&\partial _{x}+1+{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L_{1} \\L_{2}\end{pmatrix}}.$$

Det ger följande differentialfundamentalsystem för differentialekvationen ${\displaystyle Lz=0$ .

• $z_{1}(x,y)=F(y-{\frac {1}{2}}x^{2})$ ,
• $z_{2}(x,y)=G(y)e^{-x}$ ,
• $z_{3}(x,y)=\int xe^{-x}H\left({\bar {y}}+{\frac {1}{2 }}x^{2}\right)dx{\Big |}_{{\bar {y}}=y-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

$F,G$ och $H$ är obestämda funktioner.

Faktoriseringar och Loewy-sönderdelningar visade sig vara en extremt användbar metod för att bestämma lösningar av linjära differentialekvationer i sluten form, både för ordinarie och partiella ekvationer. Det borde vara möjligt att generalisera dessa metoder till ekvationer av högre ordning, ekvationer i fler variabler och system av differentialekvationer.