Janet grund

I matematik är en Janet-bas en normal form för system med linjära homogena partiella differentialekvationer (PDE) som tar bort den inneboende godtyckligheten hos ett sådant system. Den introducerades 1920 av Maurice Janet . Den kallades först Janet-basen av Fritz Schwarz 1998.

De vänstra sidorna av sådana ekvationssystem kan betraktas som differentialpolynom i en ring, och Janets normala form som en speciell grund för det ideal som de genererar. Genom missbruk av språket kommer denna terminologi att tillämpas både på det ursprungliga systemet och idealet om differentiella polynom som genereras av vänster sidor. En Janet-bas är föregångaren till en Gröbner-bas introducerad av Bruno Buchberger för polynomideal. För att generera en Janet-bas för ett givet system av linjära PDE:er måste en rangordning av dess derivator tillhandahållas; då är motsvarande Janet-bas unik. Om ett system av linjära PDE:er ges i termer av Janet-bas kan dess differentialdimension lätt bestämmas; det är ett mått på graden av obestämdhet hos dess allmänna lösning. För att generera en Loewy-nedbrytning av ett system av linjära PDE:er måste dess Janet-bas bestämmas först.

Skapa en Janet-bas

Alla system av linjära homogena PDE:er är mycket icke-unika, t.ex. kan en godtycklig linjär kombination av dess element läggas till systemet utan att ändra dess lösningsuppsättning. A priori är det inte känt om det har några icke-triviala lösningar. Mer generellt är graden av godtycklighet för dess allmänna lösning inte känd, dvs hur många obestämda konstanter eller funktioner den kan innehålla. Dessa frågor var utgångspunkten för Janets arbete; han övervägde system med linjära PDE i valfritt antal beroende och oberoende variabler och genererade en normal form för dem. Här kommer huvudsakligen linjära PDE i planet med koordinaterna $x$ och $y$ att beaktas; antalet okända funktioner är en eller två. De flesta resultat som beskrivs här kan generaliseras på ett uppenbart sätt till valfritt antal variabler eller funktioner. För att generera en unik representation för ett givet system av linjära PDE:er måste först en rangordning av dess derivator definieras.

Definition : En rangordning av derivator är en total ordning så att för två valfria derivator $\delta$ , $\delta _{1}$ och $\delta _{2}$ , och valfri derivationsoperator $\theta$ relationerna $\delta \leq \theta \delta$ och ${\_{displaystyle \delta 1}\leq \delta _{2}\högerpil \delta \delta _{1}\leq \delta \delta _{2}}$ är giltiga.

En derivata $\delta _{2}$ kallas högre än $\delta _{1}$ om $\delta _{2}>\delta _{ 1}$ . Den högsta derivatan i en ekvation kallas dess ledande derivata . För derivator upp till ordning två av en enskild funktion $z$ beroende på $x$ och $y$ med $x>y$ är två möjliga ordningsföljder

LEX-ordningen $z_{xx}>z_{xy}>z_{x}>z_{yy}>z_{y}> z$ och GRLEX-ordningen $z_{xx}>z_{xy}>z_{yy}>z_{x}>z_{ y}>z$ .

Här den vanliga notationen $\partial _{x}z=z_{x},\partial _{y}z=z_{y},\ldots$ används. Om antalet funktioner är högre än en, måste dessa beställningar generaliseras på lämpligt sätt, t.ex. beställningarna $TOP$ eller $POT$ kan tillämpas. Den första grundläggande operationen som ska användas för att generera en Janet-bas är reduktionen av en ekvation $e_{1}$ i förhållande till en annan $e_{2}$ . I vardagliga termer betyder detta följande: Närhelst en derivata av $e_{1}$ kan erhållas från den ledande derivatan av $e_{2}$ genom lämplig differentiering, utförs denna differentiering och resultatet subtraheras från $e_{1}$ . Reduktion i ett system av PDE:er betyder minskning av alla delar av systemet. Ett system med linjära PDE kallas autoreducerad om alla möjliga reduktioner har utförts.

Den andra grundläggande operationen för att skapa en Janet-bas är inkluderingen av integreringsvillkor . De erhålls enligt följande: Om två ekvationer $e_{1}$ och $e_{2}$ är sådana att genom lämpliga differentiationer kan två nya ekvationer erhållas med lika ledande derivator, genom kors- multiplikation med dess ledande koefficienter och subtraktion av de resulterande ekvationerna erhålls en ny ekvation, det kallas ett integrerbarhetsvillkor. Om genom reduktion med hänsyn till de återstående ekvationerna i systemet inte försvinner det inkluderas som en ny ekvation till systemet.

Det kan visas att upprepning av dessa operationer alltid avslutas efter ett ändligt antal steg med ett unikt svar som kallas Janet-basen för inmatningssystemet. Janet har organiserat dem i termer av följande algoritm.

Janets algoritm : Givet ett system av linjära differentialpolynom ${\displaystyle S\equiv \{e_{1},e_{2},\ldots \}},$ motsvarar Janet-basen $S$ returneras.

S1: ( Autoreducering ) Tilldela $S:=\operatörsnamn {Autoreduce} (S)$

S2: ( Completion ) Tilldela $S:=\ operatörsnamn {CompleteSystem} (S)$

S3: ( Integrerbarhetsvillkor ) Hitta alla par av ledande termer $v_{i}$ av $e_{i}$ och $v_{j}$ av $e_{j}$ så att differentiering med en icke-multiplikator $x_{i_{k}}$ och multiplikatorer $x_{j_{1}},\ldots, x_{j_{l}}$ leder till

$$\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{ i_{k}}}}={\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1} }\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

och bestämma integreringsvillkoren

$$c_{i,j}=\operatörsnamn {Lcoef} (e_{j})\cdot {\frac {\partial e_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}-\operatörsnamn { Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{ 1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}$$

S4: ( Reducering av integreringsvillkor ). För alla $c_{i,j}$ tilldela $c_{i,j}:=\operatörsnamn {Reduce} ( c_{i,j},S)$

S5: ( Uppsägning? ) Om alla $c_{i,j}$ är nollretur $S$ , gör annars tilldelningen ${\displaystyle S:=S\cup \{c_{i,j}\mid c_{i,j}\neq 0\}} ,$ ordna om $S$ ordentligt och kom till S1

Här är $Autoreduce$ en subalgoritm som returnerar sitt argument med alla möjliga reduktioner utförda, $Completion$ lägger till vissa ekvationer till systemet för att underlätta fastställandet av integreringsvillkoren. För detta ändamål är variablerna uppdelade i multiplikatorer och icke-multiplikatorer ; detaljer kan hittas i ovanstående referenser. Vid framgångsrik uppsägning kommer en Janet-bas för inmatningssystemet att returneras.

Exempel 1 : Låt systemet

$$\left\{e_{1}\ ekv. z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {xy}{y^{2}}}z=0,e_{2 }\equiv z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\right\}$$

ges med beställning av GRLEX och $x>y$ . Steg S1 returnerar det autoreducerade systemet

$\left\{e_{3}\equiv z_{yy}+{\frac {1}{y^{2}}}(xy^{3}-x^{2}-y)z_{y }-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac {1}{y}}z_{y }+xz=0\right\}.$

Steg S3 och S4 genererar integrerbarhetsvillkoret ${\displaystyle c_{3,2}\equiv {\frac {\partial e_{3}}{\ partial x}}-{\frac {\partial ^{2}e_{2}}{\partial y^{2}}}} och$ reducerar den till $z=0$ , dvs Janet-basen för det ursprungligen givna systemet är $\{z=0\}$ med den triviala lösningen $z=0$ .

Nästa exempel involverar två okända funktioner $w$ och $z$ , båda beroende på $x$ och $y$ .

Exempel 2 : Tänk på systemet

${\begin{aligned}{\ Stora \{}&f_{1}\equiv w_{xx}-2z_{xy}-{\frac {1}{2x}}w_{x}+{\frac {1}{2x^{2}}}w =0,f_{2}\equiv w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}}w_{y}-6x^{2}z_ {x},\\[5pt]&f_{3}\equiv w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y}-8xw=0,f_{4}\equiv z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\Big \}}\end{aligned}}$

i GRLEX, $w>z,x>y$ ordning. Systemet är redan autoreducerat, dvs steg S1 returnerar det oförändrat. Steg S3 genererar de två integreringsvillkoren

$c_{1,2}\equiv {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\text{ och }}c_{2,3}\equiv {\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}.$

Vid reduktion i steg S4 är de

$c_{1, 2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{yyy}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.$

I steg S5 ingår de i systemet och algoritmerna börjar igen med steg S1 med det utökade systemet. Efter några fler iterationer till slut Janet-basen

$$\left\{z_{y}+{\frac {1}{2x}}w= 0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}$$

erhålles. Det ger den allmänna lösningen $z=C_{1}-C_{2}x,w=2C_{2}y$ med två obestämda konstanter $C_{1}$ och $C_{2}$ .

Applicering av Janet-baser

Den viktigaste tillämpningen av en Janet-bas är dess användning för att bestämma graden av obestämbarhet för ett system av linjära homogena partiella differentialekvationer. Svaret i ovanstående exempel 1 är att det aktuella systemet endast tillåter den triviala lösningen. I det andra exemplet 2 erhålls ett tvådimensionellt lösningsutrymme. I allmänhet kan svaret vara mer involverat, det kan finnas oändligt många fria konstanter i den allmänna lösningen; de kan erhållas från Loewy-sönderdelningen av respektive Janet-bas. Dessutom tillåter Janet-basen för en modul att läsa av en Janet-bas för syzygy-modulen.

Janets algoritm har implementerats i Maple.

externa länkar

• www.alltypes.de – Implementering av Janets grund