Livränta

För annan användning, se Livränta (disambiguation) .

I investeringar är en livränta en serie betalningar som görs med lika intervall. Exempel på livräntor är regelbundna insättningar till ett sparkonto , månatliga bolånebetalningar , månatliga försäkringsbetalningar och pensionsbetalningar . Livräntor kan klassificeras efter frekvensen av betalningsdatum. Betalningarna (insättningarna) kan göras veckovis, månadsvis, kvartalsvis, årligen eller vid något annat regelbundet tidsintervall. Livränta kan beräknas med matematiska funktioner som kallas "livräntefunktioner".

En livränta som ger utbetalningar för resten av en persons livstid är en livränta .

Typer

Livräntor kan klassificeras på flera sätt.

Tidpunkt för betalningar

Utbetalningar av en livränta-omedelbar görs i slutet av betalningsperioder, så att ränta löper mellan emissionen av livräntan och den första utbetalningen. Utbetalningar av en förfallen livränta görs i början av betalningsperioder, så en betalning görs omedelbart på utfärdaren.

Eventuella betalningar

Livräntor som ger betalningar som kommer att betalas ut under en i förväg känd period är livräntor med vissa eller garanterade livräntor. Livräntor som endast betalas under vissa omständigheter är betingade livräntor . Ett vanligt exempel är en livränta , som betalas ut under livräntetagarens återstående livstid. Vissa livräntor och livräntor kommer garanterat att betalas ut under ett antal år och blir sedan beroende av att livräntetagaren lever.

Variabilitet av betalningar

• Fasta livräntor – Dessa är livräntor med fasta betalningar. Om det tillhandahålls av ett försäkringsbolag, garanterar företaget en fast avkastning på den initiala investeringen. Fasta livräntor regleras inte av Securities and Exchange Commission .
• Rörliga livräntor – Registrerade produkter som regleras av SEC i USA. De tillåter direktinvesteringar i olika fonder som är speciellt skapade för rörliga livräntor. Vanligtvis garanterar försäkringsbolaget en viss förmån vid dödsfall eller livstids uttagsförmåner.
• Aktieindexerade livräntor – Livräntor med betalningar kopplade till ett index. Vanligtvis kommer den lägsta betalningen att vara 0 % och den högsta kommer att vara förutbestämd. Prestanda för ett index avgör om minimum, maximum eller något däremellan krediteras kunden.

Anstånd med betalningar

En livränta som börjar utbetalas först efter en period är en uppskjuten livränta (vanligtvis efter pensionering). En livränta som påbörjar utbetalningar så snart kunden har betalat, utan anståndstid, är en omedelbar livränta .

Värdering

Värdering av en livränta innebär en beräkning av nuvärdet av de framtida livränteutbetalningarna. Värderingen av en livränta innefattar begrepp som pengars tidsvärde , ränta och framtida värde .

Livränta-viss

Om antalet utbetalningar är känt i förväg är livräntan en livränta säker eller garanterad livränta . Värdering av livräntor vissa kan beräknas med hjälp av formler beroende på tidpunkten för utbetalningar.

Livränta-omedelbar

Om betalningarna görs i slutet av tidsperioderna, så att ränta ackumuleras före betalningen, kallas livräntan en livränta-omedelbar , eller vanlig livränta . Bolånebetalningar är livränta-omedelbara, ränta intjänas innan de betalas. Vad är livränta förfallen? Med förfallen livränta avses en serie lika betalningar som görs med samma intervall i början av varje period. Perioder kan vara månadsvis, kvartalsvis, halvårsvis, årligen eller någon annan definierad period. Exempel på förfallna livränta är hyror, leasing och försäkringsbetalningar, som görs för att täcka tjänster som tillhandahålls under perioden efter betalningen.

	↓	↓	...	↓	betalningar
———	———	———	———	—
0	1	2	...	n	perioder

Nuvärdet av en livränta är värdet av en betalningsström, diskonterad med räntan för att ta hänsyn till det faktum att betalningar görs vid olika tillfällen i framtiden . Nuvärdet ges i försäkringsteknisk notation av:

$a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} ,$

där $n$ är antalet termer och $i$ är räntan per period. Nuvärdet är linjärt i mängden betalningar, därför är nuvärdet för betalningar, eller hyra ${\displaystyle R} :$

${\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.$

I praktiken redovisas ofta lån per år medan räntan höjs och betalningarna görs månadsvis. I detta fall anges räntan $I$ som en nominell ränta , och ${\textstyle i=I/12}$ .

Det framtida värdet av en livränta är det ackumulerade beloppet, inklusive betalningar och räntor, av en ström av betalningar som görs till ett räntebärande konto. För en livränta-omedelbart är det värdet direkt efter den n:e utbetalningen. Det framtida värdet ges av:

$s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},$

där $n$ är antalet termer och $i$ är räntan per period. Framtida värde är linjärt i mängden betalningar, därför är det framtida värdet för betalningar, eller hyra ${\displaystyle R} :$

${\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}$

Exempel: Nuvärdet av en 5-årig livränta med en nominell årlig ränta på 12 % och månatliga betalningar på 100 USD är:

${\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0,01}=\$4 495,50$

Hyran förstås som antingen det belopp som betalas i slutet av varje period i utbyte mot ett belopp PV lånat vid tidpunkten noll, lånebeloppet eller det belopp som betalas ut av ett räntebärande konto i slutet av varje period när beloppet PV investeras vid tidpunkten noll, och kontot blir noll vid det n:te uttaget.

Framtida och nuvarande värden är relaterade eftersom:

$s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}$

och

${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}= i$

Bevis på livränta-omedelbar formel

För att beräkna nuvärdet måste den k -:te betalningen diskonteras till nutid genom att dividera med räntan, sammansatt med k termer. Därför skulle bidraget från den k -:te betalningen R vara ${\frac {R}{(1+i)^{k}}}$ . Om du bara anser att R är 1, då:

${\ börja{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={ \frac {1}{1+i}}\summa _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\[ 5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}} }\right)\quad \quad {\text{genom att använda ekvationen för summan av en geometrisk serie}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{ 1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}},\end {Justerat}}$

vilket ger oss resultatet efter behov.

På samma sätt kan vi bevisa formeln för det framtida värdet. Betalningen som gjordes i slutet av det senaste året skulle inte ackumulera någon ränta och betalningen som gjordes i slutet av det första året skulle ackumulera ränta för totalt ( n − 1) år. Därför,

$s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=( 1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.$

Förfallen livränta

En livränta som förfaller är en livränta vars utbetalningar görs i början av varje period. Insättningar i sparande, hyra eller leasingbetalningar och försäkringspremier är exempel på livräntor som förfaller.

↓	↓	...	↓		betalningar
———	———	———	———	—
0	1	...	n − 1	n	perioder

Varje livränteutbetalning tillåts sammansättas under en extra period. På så sätt kan det nuvarande och framtida värdet av en livränta beräknas.

${\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline { n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{d}},$

${\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\ gånger s_{{\overline {n |}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}},$

där $n$ är antalet termer, $i$ är räntan per löptid och $d$ är den effektiva rabatten som ges av ${\ displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$ .

De framtida och nuvärdena för förfallna livräntor är relaterade eftersom:

${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\gånger {\ddot {a}}_{{\overline {n }}|i},$

${\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\ överlinje {n}}|i}}}=d.$

Exempel: Det slutliga värdet av en 7-årig livränta med en nominell årlig ränta på 9 % och månatliga betalningar på 100 USD kan beräknas genom:

${\text{FV}}_{\text{due}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0,0075}=\$11 730,01.$

I Excel tar funktionerna PV och FV valfritt femte argument som väljer mellan livränta-omedelbar eller livränta-förfallen.

En livränta som förfaller med n betalningar är summan av en livränta nu och en vanlig livränta med en utbetalning mindre, och dessutom lika, med en tidsförskjutning, med en vanlig livränta. Vi har alltså:

${\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}}i}+1$ . Värdet vid tidpunkten för den första av n betalningar av 1.

${\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}}i}-1$ . Värdet en period efter tidpunkten för den sista av n betalningar av 1.

Evighet

En evighet är en livränta för vilken betalningarna fortsätter för alltid. Observera det

$\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_ {{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}} {i}}=\,{\frac {R}{i}}.$

Därför har en evighet ett ändligt nuvärde när det finns en diskonteringsränta som inte är noll. Formlerna för en evighet är

$a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ och }}{\ddot {a}}_{{\ överlinje {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},$

där $i$ är räntan och $d={\frac {i}{1+i}}$ är den effektiva diskonteringsräntan.

Livräntor

Värdering av livräntor kan göras genom att beräkna det aktuariella nuvärdet av de framtida villkorade livräntor. Livslängdstabeller används för att beräkna sannolikheten för att livräntetagaren lever till varje framtida betalningsperiod. Värdering av livräntor beror också på tidpunkten för utbetalningar precis som med vissa livräntor, men livräntor kanske inte beräknas med liknande formler eftersom det aktuariella nuvärdet står för sannolikheten för dödsfall vid varje ålder.

Amorteringsberäkningar

Om en livränta är till för att återbetala en skuld P med ränta är skulden efter n betalningar

${\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).$

Eftersom schemat är likvärdigt med att låna beloppet ${\frac {R}{i}}$ för att skapa en evighet med kupong $R$ och sätta ${\frac {R}{i}}-P$ av det lånade beloppet i banken för att växa med ränta $i$ .

Detta kan också ses som nuvärdet av de återstående betalningarna

$R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{nN}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {Nn }}|i}.$

Se även bolån med fast ränta .

Exempel beräkningar

Formel för att hitta den periodiska betalningen R , givet A :

$R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\ frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n-1)}{j/m}}}}}$

Exempel:

1. Hitta den periodiska betalningen av en livränta på 70 000 USD, som ska betalas årligen i 3 år med 15 % sammansatt årligen.
   • R = 70 000/(1+〖(1-(1+((.15)/1) )〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70 000/2,625708885
   • R = $26659,46724

Hitta PVOA-faktor som. 1) hitta r as, (1 ÷ 1,15)= 0,8695652174 2) hitta r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0,3424837676)÷ (−18204) ÷ (−18204) −18204 00÷ 2,2832251175= 30658,3873 USD är rätt värde

1. Hitta den periodiska betalningen av en livränta på 250 700 USD, som betalas kvartalsvis i 8 år med 5 % sammansatt kvartalsvis.
   • R= 250 700/(1+〖(1-(1+((.05)/4) )〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250 700/26,5692901
   • R = $9 435,71

Hitta den periodiska betalningen(R), givet S:

R = S\,/((〖((1+(j/m) )〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Exempel:

1. Hitta den periodiska betalningen av ett ackumulerat värde på $55 000, som betalas månadsvis i 3 år med 15 % sammansatt månadsvis.
   • R=55 000/((〖((1+((.15)/12) )〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • R = 55 000/45,67944932
   • R = 1 204,04 USD
2. Hitta den periodiska betalningen av ett ackumulerat värde på 1 600 000 $, som ska betalas årligen i 3 år med 9% sammansatt årligen.
   • R=1 600 000/((〖((1+((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1)
   • R = 1 600 000/3,573129
   • R = $447 786,80

Rättsliga regimer

• Livränta enligt amerikansk lag
• Livränta enligt europeisk lag
• Livränta enligt schweizisk lag

Se även

• Amorteringsräknare
• Fast ränta bolån
• Livränta
• Evighet
• Pengars tidsvärde

•   Samuel A. Broverman (2010). Mathematics of Investment and Credit, 5:e upplagan . ACTEX Academic Series. ACTEX publikationer. ISBN 978-1-56698-767-7 .
•   Stephen Kellison (2008). Theory of Interest, 3:e upplagan . McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9 .