Limaçon trisectrix

Limaçon trisectrix specificerad som den polära ekvationen $r=a(1+2\cos \theta ),$ där a > 0 . När a < 0 är den resulterande kurvan reflektionen av denna kurva med avseende på linjen $\theta =\pi /2.$ Som funktion har r en period på 2π . Kurvans inre och yttre slingor skär varandra vid polen.

Huvudartikel: Limaçon

Inom geometrin är en limaçon trisectrix namnet på den kvartsplanskurva som är en trisectrix som anges som en limaçon . Formen på limaçon trisectrix kan specificeras av andra kurvor, särskilt som en ros , conchoid eller epitrochoid . Kurvan är en av ett antal plankurvtrisektrixer som inkluderar Conchoid of Nicomedes, Cycloid of Ceva, Quadratrix of Hippias , Trisectrix of Maclaurin , och Tschirnhausen kubisk . Limaçon trisectrix ett specialfall av en sectrix av Maclaurin .

Specifikation och loopstruktur

Limaçon trisectrix specificerad som en polär ekvation är

$r=a(1+2\cos \theta )$ .

Konstanten $a$ kan vara positiv eller negativ. De två kurvorna med konstanterna $a$ och $-a$ är reflektioner av varandra över linjen $\theta =\pi /2$ . Perioden för $r=a(1+2\cos \theta )$ är $2\pi$ givet perioden för sinusformen $\cos \theta$ .

Limaçon trisectrix är sammansatt av två slingor.

• Den yttre slingan definieras när $1+2\cos \theta \geq 0$ på det polära vinkelintervallet ${\displaystyle -2\ pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3} ,$ och är symmetrisk kring polaxeln. Punkten längst från polen på den yttre slingan har koordinaterna $(3a,0)$ .
• Den inre slingan definieras när $1+2\cos \theta \leq 0$ på det polära vinkelintervallet ${\displaystyle 2\pi / 3\leq \theta \leq 4\pi /3} ,$ och är symmetrisk kring polaxeln. Punkten längst bort från polen på den inre slingan har koordinaterna $(a,0)$ , och på polaxeln, är en tredjedel av avståndet från polen jämfört med den yttersta punkten på den yttre slingan.
• De yttre och inre öglorna skär varandra vid polen.

Kurvan kan anges i kartesiska koordinater som

$a^{2}(x^{2}+y^{2})=(x^{2} +y^{2}-2ax)^{2}$ ,

och parametriska ekvationer

$x=(a+2a\cos \theta )\cos \theta =a (1+\cos \theta +\cos(2\theta ))$ ,

$y=(a+2a\cos \theta )\sin \theta =a(1+\sin \theta +\sin(2\theta ))$ .

Förhållande med rosenkurvor

I polära koordinater är formen på $r=a(1+2\cos \theta )$ densamma som för rosen $r=2a\cos(\theta /3)$ . Motsvarande punkter på rosen är ett avstånd $|a|$ till vänster om limaçonens punkter när $a>0$ och $|a|$ till höger när $a<0$ . Som en ros har kurvan strukturen av ett enda kronblad med två slingor som är inskrivet i cirkeln $r=2a$ och är symmetrisk kring polaxeln.

Inversen av denna ros är en trisectrix eftersom inversen har samma form som trisectrix av Maclaurin .

Förhållande med sektrisen av Maclaurin

Se artikeln Sectrix of Maclaurin om limaçon som en instans av sectrix.

Tresektionsegenskaper

De yttre och inre slingorna av limaçon trisectrix har vinkeltrisektionsegenskaper. Teoretiskt kan en vinkel treskäras med en metod med endera egenskapen, även om praktiska överväganden kan begränsa användningen.

Yttre loop trisectrix-egenskap

Vinkeltrisektionsegenskapen för den (gröna) yttre slingan av limaçon trisectrix $r=1+2\cos \theta$ . Den (blå) genererande cirkeln $r=2\cos \theta$ krävs för att bevisa tresektionen av $\angle {PMB}$ . Den (röda) konstruktionen resulterar i två vinklar, $\angle {QMP}$ och ${\displaystyle \angle {QPM}} ,$ som har en tredjedel av måttet $\angle {PMB}$ ; och en vinkel, $\angle {PAB}$ , som har två tredjedelar av måttet $\angle {PMB}$ .

Konstruktionen av den yttre slingan av $r=1+2\cos \theta$ avslöjar dess vinkeltrisektionsegenskaper. Den yttre slingan finns på intervallet $-2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3$ . Här undersöker vi trisectrix-egenskapen för delen av den yttre slingan ovanför polaxeln, dvs definierad på intervallet $0\leq \theta \leq 2\pi /3$ .

• Observera först att polära ekvationen $r=2\cos \theta$ är en cirkel med radien ${\displaystyle 1} ,$ mitten $M(1,0)$ på polaxeln, och har en diameter som tangerar linjen $\theta =\pi /2$ vid polen $A$ . Ange diametern som innehåller stolpen som ${\overline {AB}}$ , där $B$ är vid $(2,0)$ .

• För det andra, betrakta valfritt ackord ${\overline {AQ}}$ i cirkeln med den polära vinkeln $\theta =\alpha$ . Eftersom $\triangle {AQB}$ är en rätvinklig triangel, $AQ=2\cos \alpha$ . Motsvarande punkt $P$ på den yttre slingan har koordinater $(AQ+1,\alpha )$ , där $0<\alpha \leq \pi$ .

Givet denna konstruktion visas det att $\angle {QMP}$ och två andra vinklar tresektion $\angle {PMB}$ enligt följande:

• ${\displaystyle m\angle {QMB}=2\alpha } ,$ eftersom det är den centrala vinkeln för ${\widehat {QB}}$ på cirkeln $r=2\cos \theta$ .

• Basvinklarna för den likbenta triangeln $\triangle {AMQ}$ mäter $\alpha$ – närmare bestämt $m\angle {QAB}=m\angle {AQM}=\alpha$ .

• Spetsvinkeln för den likbenta triangeln $\triangle {PQM}$ kompletterar med ${\displaystyle \angle {AQM}} ,$ och så, ${\ displaystyle m\angle {PQM}=\pi -\alpha }$ . Följaktligen mäter basvinklarna, $\angle {QMP}$ och $\angle {QPM}$$\alpha /2}$ displaystyle .

• $m\angle {PMB}=m\angle {QMB}-m\angle {QMP}=2\alpha -\alpha /2=3\alpha /2$ . Således $\angle {PMB}$ tredelad, eftersom $m\angle {QMP}/m\angle {PMB}= 1/3$ .

• Observera att även $=1/3} ,$$\displaystyle m\angle {PAB}/m\angle {QMB}=2/3}$ m .

Den övre halvan av den yttre slingan kan treskära vilken central vinkel som helst av $r=2\cos \theta$ eftersom $0<3\alpha /2<\ pi$ antyder $0<\alpha <2\pi /3$ som ligger i den yttre slingans domän.

Trisectrix-egenskap för inre loop

Vinkeltrisektionsegenskapen för den (gröna) inre slingan av limaçon trisectrix $r=1+2\cos \theta$ . Givet en punkt $C$ på den (blå) enheten cirkeln $r=1$ centrerad vid polen $A$ med $M$ vid ${\ displaystyle (1,0)}$ , där ${\overline {CM}}$ (i rött) skär den inre slingan vid $P$ , $\angle {PAM}$ tresektioner $\angle {CAM}$ . Den (svarta) normallinjen till ${\overleftrightarrow {CM}}$ är $\theta =\phi$ , så $C$ är vid $(1,2\phi )$ . Den inre slingan omdefinieras på intervallet $0\leq \theta \leq \pi /3$ as $r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))$ because its native range is greater than $\pi$ där dess radiella koordinater är icke-positiva.

Den inre slingan av limaçon trisectrix har den önskvärda egenskapen att tresektionen av en vinkel är intern i den vinkel som treskärs. Här undersöker vi den inre slingan av $r=1+2\cos \theta$ som ligger ovanför den polära axeln, som är definierad på det polära vinkelintervallet $\pi \leq \theta \leq 4\pi /3$ . Tresektionsegenskapen är den som ges en central vinkel som inkluderar en punkt $C$ liggande på enhetscirkeln med centrum vid polen, $r=1$ , har ett mått tre gånger måttet på polvinkeln för punkten $P$ i skärningspunkten av ackord ${\overline {CM}}$ och den inre slingan, där $M$ är vid $(1,0)$ .

är ekvationen för ${\overleftrightarrow {CM}}$${\displaystyle y=k(x-1)} ,$ där $k< 0$ , som är den polära ekvationen

${\displaystyle r={\frac {-k}{\sin \theta - k\cos \theta }}={\frac {-k}{\cos(\theta -\phi )}}=-k\sec(\theta -\phi )} ,$ där $\tan \phi ={\frac {1}{-k}}$ och $\phi =atan2(1,-k)$ .

(Notera: atan2 (y,x) ger den kartesiska koordinatpunktens polära vinkel (x,y).)

Eftersom normallinjen till ${\overleftrightarrow {CM}}$ är $\theta =\phi$ , halverar den spetsen av den likbenta triangeln $\triangle { CAM}$ , så $m\angle {CAM}=2\phi$ och de polära koordinaterna för $C$ är $(1,2\phi )$ .

Med avseende på limaçon är området för polära vinklar $\pi \leq \theta \leq 4\pi /3$ som definierar den inre slingan problematiskt eftersom området för polära vinklar är föremål för till tresektion faller inom området $0\leq \theta \leq \pi$ . Vidare, på dess ursprungliga domän, är de radiella koordinaterna för den inre slingan icke-positiva. Den inre slingan omdefinieras sedan på motsvarande sätt inom det intressanta polära vinkelområdet och med icke-negativa radiella koordinater som $r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))=-(1- 2\cos \theta )$ , där $-\cos(\theta +\pi )=\cos \theta$ . Den polära koordinaten $\alpha$ av $P$ bestäms av

$-(1-2\cos \alpha )={\frac {-k}{\sin \alpha -k\cos \alpha }}$

$\rightarrow (\sin \alpha -k\cos \alpha )-2\cos \alpha \sin \alpha +2k\cos ^{2}\alpha =k$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+2k({ \frac {1+\cos(2\alpha )}{2}})=k$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+k\cos( 2\alpha )=0$

$\rightarrow \cos(\alpha -\phi )=\cos(2\alpha -\phi )$ .

Den sista ekvationen har två lösningar, den första är: ${\displaystyle \alpha -\phi =2\alpha -\phi } ,$ vilket resulterar i $\alpha =0$ , polaxeln, en linje som skär båda kurvorna men inte vid $C$ på enhetscirkeln.

Den andra lösningen är baserad på identiteten $\cos(x)=\cos(-x)$ som uttrycks som

$\alpha -\phi =\phi -2\alpha$ , vilket innebär $2\phi =3\alpha$ ,

och visar att $m\angle {CAM}=3(m\angle {PAM})$ vilket visar att den större vinkeln har treskärs.

Den övre halvan av den inre slingan kan treskära vilken central vinkel som helst av $r=1$ eftersom $0<3\alpha <\pi$ innebär ${\ displaystyle 0<\alpha <\pi /3}$ som är i domänen för den omdefinierade slingan.

Linjesegment tresektionsegenskap

Limaçon trisectrix $r=a(1+2\cos \theta )$ treskär linjesegmentet på den polära axeln som fungerar som dess symmetriaxel. Eftersom den yttre slingan sträcker sig till punkten $(3a,0)$ och den inre slingan till punkten $(a,0)$ , treskär limaçon segmentet med ändpunkter vid polen (där de två slingorna skär varandra) och punkten $(3a,0)$ , där den totala längden av $3a$ är tre gånger längden som löper från stolpen till den andra änden av den inre öglan längs segmentet.

Släktskap med trisectrix hyperbola

Givet limaçon trisectrix ${\displaystyle r=1+2\cos \theta } , är$ inversen $r^{-1}$ den polära ekvationen för en hyperbel med excentricitet lika med 2, en kurva som är en trisektrix. (Se Hyperbola - vinkeltrisektion .)

Externa länkar

• "The Trisection Problem" av Robert C. Yates publicerad 1942 och omtryckt av National Council of Teachers of Mathematics tillgängligt på US Department of Education ERICs webbplats.

• "Trisecting an Angle with a Limaçon" -animering av den yttre slingvinkel-trisektionsegenskapen producerad av Wolfram Demonstration Project.
• "Limaçon" på 2dcurves.com
• "Trisectrix" på A Visual Dictionary of Special Plane Curves
• "Limaçon Trisecteur" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables