Trisectrix av Maclaurin

Maclaurins Trisectrix som platsen för skärningspunkten mellan två roterande linjer

I algebraisk geometri är trisectrixen av Maclaurin en kubisk plan kurva noterbar för sin trisectrix- egenskap, vilket betyder att den kan användas för att trisecta en vinkel . Det kan definieras som platsen för skärningspunkten för två linjer , som var och en roterar med en enhetlig hastighet kring separata punkter, så att förhållandet mellan rotationshastigheterna är 1:3 och linjerna till en början sammanfaller med linjen mellan de två punkterna . En generalisering av denna konstruktion kallas en sectrix av Maclaurin . Kurvan är uppkallad efter Colin Maclaurin som undersökte kurvan 1742.

Ekvationer

Låt två linjer rotera runt punkterna $P=(0,0)$ och $P_{1}=(a,0)$ så att när linjen att rotera om $P$ har vinkeln $\theta$ med x -axeln, den roterande runt $P_{1}$ har vinkeln $3\theta$ . Låt $Q$ vara skärningspunkten, då är vinkeln som bildas av linjerna vid $Q$$2\theta$ . Enligt sinuslagen ,

${r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!$

så ekvationen i polära koordinater är (upp till translation och rotation)

$r=a{\frac {\ \theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4 \cos \theta -\sec \theta )\!$ .

Kurvan är därför en medlem av Conchoid of de Sluze -familjen.

I kartesiska koordinater är ekvationen för denna kurva

$2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2} )\!$ .

Om origo flyttas till ( a , 0) visar en härledning liknande den som ges ovan att ekvationen för kurvan i polära koordinater blir

$r=2a\cos {\theta \over 3}\!$

vilket gör det till ett exempel på en limacon med en loop.

Tresektionsegenskapen

Trisectrix av Maclaurin som visar egenskapen vinkeltrisektion

Givet en vinkel $\phi$ , rita en stråle från $(a,0)$ vars vinkel med $x$ -axeln är $\phi$ . Rita en stråle från ursprunget till den punkt där den första strålen skär kurvan. Sedan, genom konstruktionen av kurvan, är vinkeln mellan den andra strålen och $x$ -axeln $\phi /3$ .

Anmärkningsvärda punkter och funktioner

Kurvan har en x-skärning vid $3a \over 2$ och en dubbelpunkt vid origo. Den vertikala linjen $x={-{a \over 2}}$ är en asymptot. Kurvan skär linjen x = a, eller punkten som motsvarar tresektionen av en rät vinkel, vid $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}} }a})$ . Som en nodal kubisk är den av släktet noll.

Förhållande till andra kurvor

Trisektrixen av Maclaurin kan definieras från koniska sektioner på tre sätt. Specifikt:

• Det är det omvända med avseende på enhetscirkeln för hyperbeln

$2x=a(3x^{2}-y^{2})$ .

• Den är cissoid av cirkeln

$(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

och linjen $x={a \over 2}$ i förhållande till ursprunget.

• Det är pedalen med avseende på ursprunget för parabeln

$y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)$ .

Dessutom:

• Inversen med avseende på punkten $(a,0)$ är Limaçon trisectrix .
• Maclaurins trisektrix är relaterad till Folium of Descartes genom affin transformation .

•   J. Dennis Lawrence (1972). En katalog med speciella plankurvor . Dover Publikationer. s. 36, 95, 104–106 . ISBN 0-486-60288-5 .
• Weisstein, Eric W. "Maclaurin Trisectrix" . MathWorld .
• "Trisectrix of Maclaurin" på MacTutors Famous Curves Index
• Maclaurin Trisectrix på mathcurve.com
• "Trisectrix of Maclaurin" på Visual Dictionary Of Special Plane Curves

externa länkar

• Loy, Jim "Trisektion av en vinkel", del VI