Tschirnhausen kubisk

Tschirnhausen kubik, fallet med a = 1

I algebraisk geometri är Tschirnhausen -kubiken , eller Tschirnhaus-kubiken, en plan kurva som definieras, i sin vänsteröppningsform, av den polära ekvationen

$r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)$

där sec är secant-funktionen .

Historia

Kurvan studerades av von Tschirnhaus , de L'Hôpital och katalanska . Den fick namnet Tschirnhausen cubic i en tidning från 1900 av RC Archibald, även om den ibland är känd som de L'Hôpitals cubic eller trisectrix av katalanska.

Andra ekvationer

Sätt $t=\tan(\theta /3)$ . Att sedan tillämpa trippelvinkelformler ger

$_ displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\ cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}= a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)}$

$=a(1-3t^{2} )$

$y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{ 3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta } {3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)$

$=at(3-t^{2})$

ger en parametrisk form för kurvan. Parametern t kan enkelt elimineras genom att ge den kartesiska ekvationen

$27ay^{2}=(ax)(8a+x)^{2}$ .

Om kurvan translateras horisontellt med 8 a och tecknen för variablerna ändras, är ekvationerna för den resulterande högeröppnande kurvan

$x=3a(3-t^{2})$

$y=at(3-t^{2} )$

och i kartesiska koordinater

$x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)$ .

Detta ger den alternativa polära formen

$r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)$ .

Generalisering

Tschirnhausen-kubiken är en sinusformad spiral med n = −1/3.

• JD Lawrence, en katalog över speciella plankurvor . New York: Dover, 1972, s. 87-90.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Tschirnhausen Cubic" . MathWorld .
• "Tschirnhaus' Cubic" på MacTutor History of Mathematics-arkivet
• Tschirnhausen cubic på mathcurve.com