Lewys exempel

I den matematiska studien av partiella differentialekvationer är Lewys exempel ett berömt exempel, tack vare Hans Lewy , på en linjär partiell differentialekvation utan lösningar. Det visar att analogen till Cauchy–Kovalevskaya-satsen inte håller i den jämna kategorin.

Det ursprungliga exemplet är inte explicit, eftersom det använder Hahn–Banach-teoremet , men det har sedan dess funnits olika explicita exempel av samma natur som Harold Jacobowitz hittat.

Malgrange –Ehrenpreis-satsen säger (ungefär) att linjära partiella differentialekvationer med konstanta koefficienter alltid har minst en lösning; Lewys exempel visar att detta resultat inte kan utvidgas till linjära partiella differentialekvationer med polynomkoefficienter .

Exemplet

Uttalandet är som följer

På $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$ finns det en jämn komplex -värderad funktion $F(t,z)$ så att differentialekvationen

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)$

tillåter ingen lösning på någon öppen uppsättning . Observera att om $F$ är analytisk så antyder Cauchy–Kovalevskaya-satsen att det finns en lösning.

Lewy konstruerar detta $F$ med följande resultat:

På $\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$ { , anta att $u(t,z)$ är en funktion som uppfyller utgångsläget ,

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\varphi ^{\prime }(t)$

för någon C ¹ funktion φ . Då måste φ vara realanalytisk i ett (eventuellt mindre) område av ursprunget.

Detta kan tolkas som en icke-existenssats genom att ta φ för att bara vara en jämn funktion. Lewys exempel tar den senare ekvationen och översätter på sätt och vis dess olöslighet till varje punkt i $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$ . Bevismetoden använder ett Baire-kategoriargument , så i en viss exakt mening är nästan alla ekvationer av denna form olösliga .

Mizohata (1962) fann senare att den ännu enklare ekvationen

${\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y} }=F(x,y)$

beroende på 2 reella variabler har x och y ibland inga lösningar. Detta är nästan den enklaste möjliga partiella differentialoperatorn med icke-konstanta koefficienter.

Betydelse för CR-grenrör

En CR-grenrör är utrustad med ett kedjekomplex av differentialoperatorer, formellt liknande Dolbeault-komplexet på ett komplext grenrör , kallat $\scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}$ -komplexet. Dolbeault-komplexet medger en version av Poincaré-lemmat . På kärvarnas språk betyder detta att Dolbeault-komplexet är exakt. Lewy-exemplet visar dock att $\scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}$ -komplexet nästan aldrig är exakt.

•     Lewy, Hans (1957), "Ett exempel på en jämn linjär partiell differentialekvation utan lösning", Annals of Mathematics , 66 (1): 155–158, doi : 10.2307/1970121 , JSTOR 1970121 , MR 008862007, Zbl 01007 , Zbl 0007 , Zbl 008 .
•    Mizohata, Sigeru (1962), "Solutions nulles et solutions non analytiques" , Journal of Mathematics of Kyoto University (på franska), 1 (2): 271–302, MR 0142873 , Zbl 0106.29601 .
• Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Lewy-operatör och Mizohata-operatör" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press