Likfördelningssats

Illustration av att fylla enhetsintervallet (horisontell axel) med de första n termerna med hjälp av ekvifördelningssatsen med fyra vanliga irrationella tal, för n från 0 till 999 (vertikal axel). De 113 distinkta banden för π beror på närheten av dess värde till det rationella talet 355/113. På liknande sätt beror de 7 distinkta grupperna på att π är ungefär 22/7. (klicka för detaljerad vy)

I matematik är ekvifördelningssatsen påståendet att sekvensen

a , 2 a , 3 a , ... mod 1

är jämnt fördelad på cirkeln ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } ,$ när a är ett irrationellt tal . Det är ett specialfall av den ergotiska satsen där man tar det normaliserade vinkelmåttet $\mu ={\frac {d\theta }{2\pi }}$ .

Historia

Även om detta teorem bevisades 1909 och 1910 separat av Hermann Weyl , Wacław Sierpiński och Piers Bohl , fortsätter varianter av denna teorem att studeras till denna dag.

1916 bevisade Weyl att sekvensen a , 2 ² a , 3 ² a , ... mod 1 är jämnt fördelad på enhetsintervallet. 1937 Ivan Vinogradov att sekvensen p _n a mod 1 är likformigt fördelad, där p _n är det n :te primtal . Vinogradovs bevis var en biprodukt av den udda Goldbach-förmodan , att varje tillräckligt stort udda tal är summan av tre primtal.

George Birkhoff , 1931, och Aleksandr Khinchin , 1933, bevisade att generaliseringen x + na , för nästan alla x , är jämnfördelad på vilken Lebesgue-mätbar delmängd som helst av enhetsintervallet. Motsvarande generaliseringar för Weyl- och Vinogradov-resultaten bevisades av Jean Bourgain 1988.

Specifikt visade Khinchin att identiteten

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1} {n}}\summa _{k=1}^{n}f((x+ka){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

håller för nästan alla x och alla Lebesgue-integrerbara funktioner ƒ. I moderna formuleringar frågas det under vilka förutsättningar identiteten

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1 }{n}}\summa _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y )\,dy$

kan hålla, givet någon allmän sekvens b _k .

Ett anmärkningsvärt resultat är att sekvensen 2 ^k a mod 1 är likformigt fördelad för nästan alla, men inte alla, irrationella a . På liknande sätt, för sekvensen b _k = 2 ^k a, för varje irrationell a , och nästan alla x , finns det en funktion ƒ för vilken summan divergerar. I denna mening anses denna sekvens vara en allmänt dålig medelvärdessekvens , i motsats till b _k = k , som kallas en universellt bra medelvärdessekvens , eftersom den inte har den senare bristen.

Ett kraftfullt generellt resultat är Weyls kriterium , som visar att jämnfördelning är ekvivalent med att ha en icke-trivial uppskattning för de exponentiella summorna som bildas med sekvensen som exponenter. För fallet med multipler av a minskar Weyls kriterium problemet till att summera ändliga geometriska serier .

Se även

• Diofantisk approximation
• Låg avvikelse sekvens
• Dirichlets approximationssats
• Tre-gap teorem

Historiska referenser

• P. Bohl, (1909) Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem , J. reine angew. Matematik. 135 , s. 189–283.
•   Weyl, H. (1910). "Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 330 : 377-407. doi : 10.1007/bf03014883 . S2CID 122545523 .
• W. Sierpinski, (1910) Sur la valeur asymptotique d'une suree somme , Bull Intl. Acad. Polonaise des Sci. et des Lettres (Cracovie) serie A , s. 9–11.
•   Weyl, H. (1916). "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" . Matematik. Ann . 77 (3): 313–352. doi : 10.1007/BF01475864 . S2CID 123470919 .
•    Birkhoff, GD (1931). "Bevis för den ergodiska satsen" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 17 (12): 656–660. Bibcode : 1931PNAS...17..656B . doi : 10.1073/pnas.17.12.656 . PMC 1076138 . PMID 16577406 .
•   Ja. Khinchin, A. (1933). "Zur Birkhoffs Lösung des Ergodensproblems". Matematik. Ann . 107 : 485-488. doi : 10.1007/BF01448905 . S2CID 122289068 .

Moderna referenser

•   Joseph M. Rosenblatt och Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis , (1993) som förekommer i Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen och Ibrahim A. Salama, red . . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0 . (En omfattande undersökning av de ergotiska egenskaperna hos generaliseringar av ekvidistributionssatsen för skiftkartor på enhetsintervallet . Fokuserar på metoder utvecklade av Bourgain.)
• Elias M. Stein och Rami Shakarchi, Fourieranalys. An Introduction , (2003) Princeton University Press, s 105–113 (Bevis för Weyls teorem baserat på Fourier Analysis)