Krökningsinvariant (allmän relativitetsteori)

I allmän relativitetsteori är krökningsinvarianter en uppsättning skalärer som bildas från Riemann- , Weyl- och Ricci -tensorerna - som representerar krökning , därav namnet - och eventuellt operationer på dem som sammandragning , kovariansdifferentiering och dualisering .

Vissa invarianter som bildas från dessa krökningstensorer spelar en viktig roll i klassificeringen av rumstider . Invarianter är faktiskt mindre kraftfulla för att särskilja lokalt icke- isometriska Lorentziska grenrör än de är för att särskilja Riemannska grenrör . Detta innebär att de är mer begränsade i sina tillämpningar än för grenrör som är utrustade med en positiv bestämd metrisk tensor .

Huvudsakliga invarianter

De huvudsakliga invarianterna för Riemann- och Weyl-tensorerna är vissa kvadratiska polynominvarianter ( dvs summan av kvadrater av komponenter).

De huvudsakliga invarianterna för Riemann-tensorn i ett fyrdimensionellt Lorentziskt grenrör är

1. Kretschmann -skalären $K_{1}=R_{abcd}\,R^{abcd}$
2. Chern –Pontryagin-skalären $K_{2}={{}^{\star }R}_{abcd}\,R^{abcd}$
3. Euler -skalären $K_{3}={{}^{\star }R^{\star }}_{abcd}\,R^{ abcd}$

Dessa är kvadratiska polynominvarianter (summor av kvadrater av komponenter). (Vissa författare definierar Chern-Pontryagin-skalären med den högra dualen istället för den vänstra dualen .)

Den första av dessa introducerades av Erich Kretschmann . De två andra namnen är något anakronistiska, men eftersom integralerna av de två sista är relaterade till instantontalet respektive Euler -karaktäristiken , har de en viss berättigande.

De huvudsakliga invarianterna för Weyl-tensoren är

1. $I_{1}=C_{abcd}\,C^{abcd}$
2. $I_{2}={{}^{\star }C}_{abcd}\,C^{abcd}$

(Eftersom ${\displaystyle {{}^{\star }C^{\star }}_{abcd}=-C_{abcd}} finns det inget$ behov att definiera en tredje huvudinvariant för Weyl-tensoren.)

Förhållande med Ricci-nedbrytning

Som man kan förvänta sig från Ricci-sönderdelningen av Riemann-tensoren till Weyl-tensoren plus en summa av fjärderangstensorer konstruerade från Ricci-tensoren av andra rangen och från Ricci-skalären , är dessa två uppsättningar av invarianter relaterade (i d=4) :

$K_{1}=I_{1}+2\,R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac { 1}{3}}\,R^{2}$

$K_{3}=-I_{1}+2\, R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {2}{3}}\,R^{2}$

Samband med Bel-nedbrytning

I fyra dimensioner består Bel-sönderdelningen av Riemann-tensorn, med avseende på ett tidsliknande enhetsvektorfält ${\displaystyle {\vec {X}}} ,$ inte nödvändigtvis geodetisk eller hyperytortogonal, av tre delar

1. den elektrogravitiska tensorn $E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\ ,X^{n}$
2. den magnetogravitiska tensorn $B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_ {ambn}\,X^{m}\,X^{n}$
3. den topogravitiska tensorn $L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^ {\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$

Eftersom dessa alla är tvärgående (dvs. projicerade till de rumsliga hyperplanelementen ortogonala mot vårt tidslika enhetsvektorfält), kan de representeras som linjära operatorer på tredimensionella vektorer, eller som tre gånger tre reella matriser. De är symmetriska, spårlösa respektive symmetriska (6,8,6 linjärt oberoende komponenter, totalt 20). Om vi ​​skriver dessa operatorer som E , B , L respektive, erhålls de huvudsakliga invarianterna för Riemann-tensoren enligt följande:

• $K_{1}/4$ är ​​spåret av E ² + L ² - 2 B B ^T ,
• $-K_{2}/8$ är spåret av B ( E - L ),
• $K_{3}/8$ är spåret E L B ² .

Uttryck i Newman-Penrose formalism

När det gäller Weyl-skalärerna i Newman–Penrose-formalismen , kan de huvudsakliga invarianterna för Weyl-tensoren erhållas genom att ta de verkliga och imaginära delarna av uttrycket

$I_{1}-i\,I_{2}=16\,\left(3\Psi _ {2}^{2}+\Psi _{0}\,\Psi _{4}-4\,\Psi _{1}\Psi _{3}\right)$

(Men notera minustecknet!)

Den huvudsakliga kvadratiska invarianten av Ricci-tensorn , $R_{ab}\,R^{ab}$ , kan erhållas som ett mer komplicerat uttryck som involverar Ricci-skalärerna (se artikeln av Cherubini et al. al. citerade nedan).

Särskiljande Lorentziska grenrör

En viktig fråga relaterad till krökningsinvarianter är när uppsättningen av polynomkurvaturinvarianter kan användas för att (lokalt) särskilja grenrör. För att kunna göra detta är det nödvändigt att inkludera högre ordningens invarianter inklusive derivator av Riemann-tensorn, men i det Lorentziska fallet är det känt att det finns rumstider som inte kan särskiljas; t.ex. VSI-rumtiderna för vilka alla sådana krökningsinvarianter försvinner och därför inte kan särskiljas från platt rymd. Detta misslyckande med att kunna särskilja Lorentziska grenrör är relaterat till det faktum att Lorentz-gruppen är icke-kompakt.

Det finns fortfarande exempel på fall då vi kan urskilja Lorentziska grenrör med hjälp av deras invarianter. Exempel på sådana är helt allmänna Petrov typ I rymdtider utan dödande vektorer, se Coley et al. Nedan. I själva verket fann man här att de rymdtider som inte kan särskiljas genom deras uppsättning krökningsinvarianter alla är Kundt-rumtider .

Se även

• Bach tensor , för en ibland användbar tensor genererad av $I_{2}$ via en variationsprincip.
• Carminati-McLenaghan-invarianter , för en uppsättning polynominvarianter av Riemann-tensorn i ett fyrdimensionellt Lorentzian-grenrör som är känt för att vara komplett under vissa omständigheter.
• Kurvaturinvariant , för kurvaturinvarianter i ett mer allmänt sammanhang.

• Cherubini, C.; Bini, D.; Capozziello, S.; Ruffini R. (2002). "Andra ordningens skalära invarianter av Riemann-tensorn: tillämpningar på svarta håls rumtider". Int. J. Mod. Phys. D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095 . Bibcode : 2002IJMPD..11..827C . doi : 10.1142/S0218271802002037 . Se även eprintversionen .
• Coley, A.; Hervik, S.; Pelavas, N. (2009). "Rymdtider kännetecknas av deras skalära krökningsinvarianter". Klass. Quantum Grav . 26 : 025013. arXiv : 0901.0791 . Bibcode : 2009CQGra..26b5013C . doi : 10.1088/0264-9381/26/2/025013 .