Krökning invariant

I Riemannsk geometri och pseudo-Riemannsk geometri är krökningsinvarianter skalära kvantiteter konstruerade från tensorer som representerar krökning . Dessa tensorer är vanligtvis Riemann-tensoren , Weyl-tensoren , Ricci-tensoren och tensorer som bildas av dessa genom operationerna med att ta dubbla kontraktioner och kovariansdifferentieringar .

Typer av krökningsinvarianter

De invarianter som oftast betraktas är polynominvarianter . Dessa är polynom konstruerade från sammandragningar såsom spår. Andra gradens exempel kallas kvadratiska invarianter , och så vidare. Invarianter konstruerade med hjälp av kovarianta derivator upp till ordning n kallas differentialinvarianter av n:te ordningen .

Riemann-tensorn är en multilinjär operator av fjärde rang som verkar på tangentvektorer . Det kan emellertid också betraktas som en linjär operator som verkar på bivectors , och som sådan har den ett karakteristiskt polynom , vars koefficienter och rötter ( egenvärden ) är polynomiska skalära invarianter.

Fysiska tillämpningar

I metriska gravitationsteorier, såsom allmän relativitet , spelar krökningsskalärer en viktig roll för att skilja distinkta rumtider isär.

Två av de mest grundläggande krökningsinvarianterna i allmän relativitet är Kretschmann-skalären

$R_{abcd}\,R^{abcd}$

och Chern-Pontryagin-skalären ,

$R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}$

Dessa är analoga med två bekanta kvadratiska invarianter av den elektromagnetiska fälttensorn i klassisk elektromagnetism.

Ett viktigt olöst problem inom allmän relativitetsteori är att ge en grund (och eventuella syzygier ) för invarianterna av nollte ordningen hos Riemann-tensoren.

De har begränsningar eftersom många distinkta rymdtider inte kan särskiljas på denna grund. I synnerhet kan så kallade VSI-rymdtider (inklusive pp-vågor såväl som vissa andra Petrov-typ N- och III-rymdtider) inte särskiljas från Minkowski-rymdtid genom att använda valfritt antal polynomiska krökningsinvarianter (av vilken ordning som helst).

Se även

• Cartan–Karlhede algoritm
• Carminati–McLenaghan invarianter
• Krökningsinvariant (allmän relativitetsteori)
• Ricci sönderdelning

•   Stephani, Hans (2009). "9. Invarianter och karakterisering av geometrier". Exakta lösningar av Einsteins fältekvationer (2. ed., 1. pocket ed.). Cambridge [ua]: Cambridge Univ Pr. ISBN 978-0521467025 .