Kovariant klassisk fältteori

I matematisk fysik representerar den kovarianta klassiska fältteorin klassiska fält genom sektioner av fiberknippen , och deras dynamik formuleras i sammanhanget av ett ändligt dimensionellt utrymme av fält . Nuförtiden är det välkänt att ^{[ citat behövs ]} jetbuntar och variationsbikomplexet är den korrekta domänen för en sådan beskrivning. Den Hamiltonska varianten av kovarians klassisk fältteori är den kovarianska Hamiltonska fältteorin där momenta motsvarar derivator av fältvariabler med avseende på alla världskoordinater. Icke-autonom mekanik är formulerad som kovariant klassisk fältteori på fiberknippen över tidsaxeln ℝ.

Exempel

Många viktiga exempel på klassiska fältteorier som är av intresse inom kvantfältteori ges nedan. I synnerhet är dessa teorier som utgör standardmodellen för partikelfysik. Dessa exempel kommer att användas i diskussionen om den allmänna matematiska formuleringen av klassisk fältteori.

Okopplade teorier

Skalärfältsteori
- Klein−Gordons teori
Spinor teorier
Mät teorier
- Maxwells teori
- Yang-Mills teori . Detta är den enda teorin i den okopplade teorilistan som innehåller interaktioner: Yang–Mills innehåller självinteraktioner.

Kopplade teorier

Yukawa-koppling : koppling av skalära och spinorfält.
Skalär elektrodynamik / kromodynamik : koppling av skalära och mätfält.
Kvantelektrodynamik / kromodynamik : koppling av spinor- och mätfält. Trots att dessa kallas kvantteorier, kan lagrangianerna betraktas som de av en klassisk fältteori.

Erforderliga matematiska strukturer

För att formulera en klassisk fältteori behövs följande strukturer:

Rymdtid

Ett slätt grenrör $M$ .

Detta är på olika sätt känt som världsgrenröret (för att betona grenröret utan ytterligare strukturer som en metrik), rumtid (när den är utrustad med en Lorentzisk metrik) eller basgrenröret för en mer geometrisk synvinkel.

Strukturer på rumtid

Rymdtiden kommer ofta med ytterligare struktur. Exempel är

Metrisk: en (pseudo-) Riemannisk metrisk $\mathbf {g}$ på $M$ .
Metrisk upp till konform ekvivalens

såväl som den erforderliga strukturen för en orientering, som behövs för en föreställning om integration över hela grenröret $M$ .

Symmetrier av rumtid

Rumtiden $M$ kan medge symmetrier. Om den till exempel är utrustad med en metrisk $\mathbf {g}$ , är dessa isometrierna för ${\displaystyle M} ,$ genererade av Killing-vektorfälten . Symmetrierna bildar en grupp ${\text{Aut}}(M)$ , rumtidens automorfismer. I detta fall bör teorins fält transformeras till en representation av ${\text{Aut}}(M)$ .

Till exempel för Minkowski-rymden är symmetrierna Poincaré-gruppen ${\text{Iso}}(1,3)$ .

Mätare, huvudbuntar och anslutningar

En Lie-grupp $G$ som beskriver de (kontinuerliga) symmetrierna för interna frihetsgrader. Motsvarande Lie-algebra genom Lie-gruppen–Lie-algebra-överensstämmelse betecknas ${\mathfrak {g}}$ . Detta kallas för mätargruppen .

En huvudsaklig $G$ -bunt $P$ , även känd som en $G$ -torsor. Detta skrivs ibland som

P\xrightarrow {\pi } M

där $\pi$ är den kanoniska projektionskartan på $P$ och $M$ är basgrenröret.

Anslutningar och mätfält

Här tar vi synen på sambandet som ett principiellt samband . I fältteorin ses denna koppling också som en kovariansderivata $\nabla$ vars verkan på olika fält definieras senare.

En huvudkoppling betecknad ${\mathcal {A}}$ är en ${\mathfrak {g}}$ -värderad 1-form på P som uppfyller tekniska villkor för 'projektion' och 'högerekvivarians' : information finns i artikeln om huvudanslutning.

Under en trivialisering kan detta skrivas som ett lokalt mätfält $A_{\mu }(x)$ , en ${\mathfrak {g}}$ -värderad 1-form på en trivialization patch $U\subset M$ . Det är denna lokala form av sambandet som identifieras med mätfält i fysiken. När basgrenröret $M$ är platt finns det förenklingar som tar bort denna subtilitet.

Tillhörande vektorbuntar och materiainnehåll

En associerad vektorbunt $E\xrightarrow {\pi } M$ associerad med huvudbunten $P$ genom en representation $\rho .$

För fullständighetens skull, givet en representation ${\displaystyle (V,G,\rho )} ,$ är fibern i $E$ $V$ .

Ett fält eller materiafält är en sektion av en associerad vektorbunt. Samlingen av dessa tillsammans med mätfält är teorins materieinnehåll.

Lagrangian

En Lagrangian $L$ : givet ett fiberknippe $E'\xrightarrow {\pi } M$ , är Lagrangian en funktion $L:E' \rightarrow \mathbb {R}$ .

Antag att ämnesinnehållet ges av sektioner av $E$ med fiber $V$ ovanifrån. Då till exempel, mer konkret kan vi betrakta $E'$ som en bunt där fibern vid $p$ är $V\otimes T_{p}^{ *}M$ . Detta gör att $L$ kan ses som en funktion av ett fält.

Detta kompletterar de matematiska förutsättningarna för ett stort antal intressanta teorier, inklusive de som ges i exemplen ovan.

Teorier om platt rumtid

När basgrenröret $M$ är platt, det vill säga ( Pseudo -) euklidiskt rum , finns det många användbara förenklingar som gör teorier mindre begreppsmässigt svåra att hantera.

Förenklingarna kommer från observationen att platt rymdtid är sammandragbar: det är då ett teorem i algebraisk topologi att vilket fiberknippe som helst över platt $M$ är trivialt.

I synnerhet tillåter detta oss att välja en global trivialisering av $P$ , och därför identifiera kopplingen globalt som ett mätfält $A_{\mu }.$

Dessutom finns det en trivial koppling $A_{0,\mu }$ som gör att vi kan identifiera associerade vektorbuntar som $E=M\times V$ , och då behöver vi inte visa fält som sektioner utan helt enkelt som funktioner $M\rightarrow V$ . Med andra ord är vektorbuntar vid olika punkter jämförbara. Dessutom, för platt rymdtid Levi-Civita-anslutningen den triviala anslutningen på rambunten .

Då är rumtids-kovariantderivatan på tensor- eller spin-tensorfält helt enkelt den partiella derivatan i platta koordinater. Emellertid kan den kovarianta derivatan av mätaren kräva en icke-trivial anslutning $A_{\mu }$ som anses vara teorins mätfält.

Noggrannhet som fysisk modell

I svag gravitationskurvatur fungerar platt rymdtid ofta som en bra approximation till svagt krökt rumtid. För experiment är denna uppskattning bra. Standardmodellen är definierad på platt rumtid och har producerat de mest exakta precisionstesterna av fysik hittills.

Se även

Saunders, DJ, "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Bocharov, AV [et al.] "Symmetrier och bevarandelagar för differentialekvationer för matematisk fysik", Amer. Matematik. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X
De Leon, M., Rodrigues, PR, "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
Griffiths, PA, "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhäuser, 1983, ISBN 3-7643-3103-8
Gotay, MJ, Isenberg, J., Marsden, JE, Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Del I: Covariant Field Theory , november 2003 arXiv : physics/9801019
Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, MC, Roman-Roy, M., Geometry of Lagrangian First-orders Classical Field Theories , maj 1995 arXiv : dg-ga/9505004
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 ( arXiv : 0811.0331 )