I sannolikhet och statistik , givet två stokastiska processer
{
X
t
}
{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
{
Y
t
}
{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
kovariansen för en process med den andra vid par av tidpunkter . Med den vanliga notationen
E
\displaystyle \operatorname {E} }
μ
X
( t ) =
E
{
X
t
]
{\displaystyle \mu _{X}(t) =\operatörsnamn {\operatörsnamn {E} } [X_{t}]}
förväntningsoperatorn , om processerna har medelfunktionerna [ och
μ
Y
( t ) = E [
Y
t
]
{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatörsnamn {E} [Y_ {t}]}
K
X Y
(
t
1
,
t
2
) = cov (
X
t
1
,
Y
t
2
) = E [ (
X
t
1
−
μ
X
(
t
1
) ) (
Yt
2
−
μ
Y
( t
2
)
_ ) ] = E [
X
t
1
Y
t
2
] −
μ
X
(
t
1
)
μ
Y
(
t
2
) .
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatörsnamn {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatörsnamn { E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\ operatornamn {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}
Korskovarians är relaterad till den mer vanligt förekommande korskorrelationen mellan processerna i fråga.
I fallet med två slumpmässiga vektorer
X
= (
X
1
,
X
2
, … ,
X
p
)
T
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p}) ^{\rm {T}}}
Y
= (
Y
1
,
Y
2
, … ,
Y
q
)
T
{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{ q})^{\rm {T}}}
p × q
{\displaystyle p\times q}
K
X Y
{\displaystyle \operatornamn {K} _{XY}}
cov ( X , Y )
{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}
K
X Y
( j , k ) = cov (
X
j
,
Y
k
) .
{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatörsnamn {cov} (X_{j},Y_{k}).\,} Således används termen korskovarians
att särskilja detta koncept från kovariansen av en slumpmässig vektor
X
{\displaystyle \mathbf {X} } ,
matrisen av kovarianser mellan de skalära komponenterna av
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Vid signalbehandling kallas korskovariansen ofta korskorrelation och är ett mått på likheten mellan två signaler , som vanligtvis används för att hitta egenskaper i en okänd signal genom att jämföra den med en känd. Det är en funktion av den relativa tiden mellan signalerna glidpunktsprodukten , kallas ibland för och har tillämpningar inom mönsterigenkänning och kryptoanalys .
Korskovarians av slumpmässiga vektorer
Korskovarians av stokastiska processer
Definitionen av korskovarians av slumpmässiga vektorer kan generaliseras till stokastiska processer enligt följande:
Definition
Låt
{ X ( t ) }
{\displaystyle \{X(t)\}}
{ Y ( t ) }
{\displaystyle \{Y(t)\}}
K
X Y
{\displaystyle K_{XY}} av:
K
X Y
(
t
1
,
t
2
)
=
d e f
cov (
X
t
1
,
Y
t
2
) = E
[
(
X (
t
1
) −
μ
X
(
t
1
)
)
(
Y (
t
2
) −
μ
Y
(
t
2
)
)
]
{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname { cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatörsnamn {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1} )\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}
()
där
μ
X
( t ) = E
[
X ( t )
]
{\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatörsnamn {E} \left[X(t)\right]}
μ
Y
( t ) = E
[
Y ( t )
]
{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatörsnamn {E} \left[Y(t)\right]}
Om processerna är komplext värderade stokastiska processer, måste den andra faktorn vara komplex konjugerad :
K
X Y
(
t
1
,
t
2
)
=
d e f
cov (
X
t
1
,
Y
t
2
) = E
[
(
X (
t
1
) −
μ
X
(
t
1
)
)
(
Y (
t
2
) −
μ
Y
(
t
2
)
)
¯
]
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatörsnamn {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatörsnamn {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1 })\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}
Definition för gemensamma WSS-processer
Om
{
X
t
}
{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
{
Y
t
}
{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
gemensamt vidsynt stationärt , då är följande sant:
μ
X
(
t
1
) =
μ
X
(
t
2
) ≜
μ
X
{\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{ X}}
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
μ
Y
(
t
1
) =
μ
Y
(
t
2
) ≜
μ
Y
{\displaystyle \mu _{Y}( t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
och
0
K
X Y
(
t
1
,
t
2
) =
K
X Y
(
t
2
−
t
1
, )
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatörsnamn {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
Genom att ställa in
τ =
t
2
−
t
1
{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}
K
X Y
( τ ) =
K
X Y
(
t
2
−
t
1
) ≜
K
X Y
(
t
1
,
t
2
)
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(\tau )=\operatörsnamn {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatörsnamn {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}
Korskovariansfunktionen för två gemensamma WSS-processer ges därför av:
K
X Y
( τ ) = cov (
X
t
,
Y
t − τ
) = E [ (
X
t
−
μ
X
) (
Yt
− τ −
μ
Y
)
] = E [
X
t
Y
t
τ _
− ] −
μ
X
μ
Y
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(\tau )=\operatörsnamn {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatörsnamn {E} [( X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatörsnamn {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\ mu _{X}\mu _{Y}}
()
vilket motsvarar
K
X Y
( τ ) = cov (
X
t + τ
,
Y
t
) = E [ (
X
t + τ
−
μ
X
) (
Y
t
−
μ
Y
) ] = E [
X
t + τ
Y
t
] −
μ
X
μ
Y
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{XY}(\tau )=\operatörsnamn {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatörsnamn {E} [(X_ {t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatörsnamn {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{ X}\mu _{Y}}
Okorrelation
Två stokastiska processer
{
X
t
}
{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
{
Y
t
}
{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
okorrelerade om deras kovarians
K
X
Y
(
t
1
,
t
2
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}
0
{
X
t
}
,
{
Y
t
}
okorrelerade
⟺
K
X
Y
(
t
1
,
t
2
) = ∀
t
1
,
t
2
{\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_ {t}\right\}{\text{ okorrelerad}}\quad \iff \quad \operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})= 0\quad \forall t_{1},t_{2}}
Korskovarians av deterministiska signaler
Korskovariansen är också relevant vid signalbehandling där korskovariansen mellan två breda stationära slumpmässiga processer kan uppskattas genom att medelvärdesberäkning av produkten av prover uppmätta från en process och prover uppmätta från den andra (och dess tidsförskjutningar). Samplen som ingår i medelvärdet kan vara en godtycklig delmängd av alla sampel i signalen (t.ex. sampel inom ett ändligt tidsfönster eller en undersampling av en av signalerna). För ett stort antal sampel konvergerar medelvärdet till den sanna kovariansen.
Korskovarians kan också hänvisa till en "deterministisk" korskovarians mellan två signaler. Detta består av summering över alla tidsindex. Till exempel, för tidsdiskreta signaler
f [ k ]
{\displaystyle f[k]}
g [ k ]
{\displaystyle g[k]}
( f ⋆ g ) [ n ]
=
d e f
∑
k ∈
Z
f [ k ]
¯
g [ n + k ] =
∑
k ∈
Z
f [ k − n ]
¯
g [ k ]
{\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k] =\summa _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[kn]}}g[k]}
där linjen indikerar att det komplexa konjugatet tas när signalerna är komplext värderade .
För kontinuerliga funktioner
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
g ( x )
{\displaystyle g(x)}
( f ⋆ g ) ( x )
=
d e f
∫
f ( t )
¯
g ( x + t ) d t = ∫
f ( t − x )
¯
g ( t ) d t
{\displaystyle (f\star g) (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(tx) )}}g(t)\,dt}
Egenskaper
Den (deterministiska) korskovariansen för två kontinuerliga signaler är relaterad till faltningen av
( f ⋆ g ) ( t ) = (
f ( − τ )
¯
∗ g ( τ ) ) ( t )
{\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )} }*g(\tau ))(t)}
och den (deterministiska) korskovariansen för två diskreta tidssignaler är relaterad till den diskreta faltningen av
( f ⋆ g ) [ n ] = (
f [ − k ]
¯
∗ g [ k ] ) [ n ]
{\displaystyle (f\star g)[n]=({\överlinje {f[-k]}} *g[k])[n]}
Se även
externa länkar
![{\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6464417d52bc920c016773f523d4dbceb9b293d4)
![{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01da5dd04fc26f6b21e177f10ea9736e2d56a4e7)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f4077f8173bfb323a68313e4287d017cc0c281)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a9557f62a2b87ad3e9ea3fe34fd2886a555452)
![{\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66ff50c83aada12cb690a425b435f229b9f72ed)
![{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fbc8f1d47e8c8e0ef3b108fb5ff1f50d622ff3)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af132571e88ed273022677215e210816f4f9b93)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _{X}\mu _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d33105bfcc12b9bd9a3d240d78fad1df3cf524)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c329ddae8b4e41431582575fd8156e025c26f34d)
![f[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c2cac4f7a962e0e8b6e35a6ddb99c8b39763fb)
![{\displaystyle g[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e0eb43b8f34360a3158d48d0d908a104dd8ccf)
![{\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f82f14c2e14226808b1b3517153c75716e658d)
![{\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04fa8cd0152aa79efeee16ac48bbd6170a4b52a)